- Sejam
e
. Mostre que: (a)
. (b)
. ©
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar três propriedades do determinante de matrizes quadradas. Vamos trabalhar com matrizes
e
de ordem
e um escalar
. Para resolver, vamos precisar entender como o determinante se comporta quando multiplicamos matrizes, transponemos matrizes e multiplicamos uma matriz por um escalar. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Queremos mostrar que
.
Primeiro, lembra que o determinante de uma matriz é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Uma propriedade fundamental dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas.
Então, quando multiplicamos duas matrizes
e
, o determinante do resultado
é igual a
vezes
. Isso ocorre porque o determinante preserva a multiplicação de escala e áreas/volumes em transformações lineares representadas pelas matrizes.
Portanto,
.
Passo 3
Parte (b): Precisamos mostrar que
, onde
é a transposta de
.
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Uma propriedade importante do determinante é que ele permanece o mesmo quando tiramos a transposta da matriz. Isso porque a operação de transposição não altera o valor do determinante, já que ela apenas reorganiza os elementos da matriz sem mudar as relações que definem o determinante.
Assim,
.
Passo 4
Parte ©: Temos que demonstrar que
, sendo
um escalar e
uma matriz
.
Quando multiplicamos uma matriz
por um escalar
, cada elemento da matriz é multiplicado por
. O determinante de
então será
elevado à potência da ordem da matriz, ou seja,
, multiplicado pelo determinante original
. Isso ocorre porque o determinante envolve multiplicações de elementos de linhas e colunas, e cada linha (ou coluna) terá um fator
extra, resultando em
.
Portanto,
.
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©