• Sejam e . Mostre que: (a) . (b) . © .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar três propriedades do determinante de matrizes quadradas. Vamos trabalhar com matrizes e de ordem e um escalar . Para resolver, vamos precisar entender como o determinante se comporta quando multiplicamos matrizes, transponemos matrizes e multiplicamos uma matriz por um escalar. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que .
Primeiro, lembra que o determinante de uma matriz é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Uma propriedade fundamental dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas.
Então, quando multiplicamos duas matrizes e , o determinante do resultado é igual a vezes . Isso ocorre porque o determinante preserva a multiplicação de escala e áreas/volumes em transformações lineares representadas pelas matrizes.
Portanto, .

Passo 3

Parte (b): Precisamos mostrar que , onde é a transposta de .
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Uma propriedade importante do determinante é que ele permanece o mesmo quando tiramos a transposta da matriz. Isso porque a operação de transposição não altera o valor do determinante, já que ela apenas reorganiza os elementos da matriz sem mudar as relações que definem o determinante.
Assim, .

Passo 4

Parte ©: Temos que demonstrar que , sendo um escalar e uma matriz .
Quando multiplicamos uma matriz por um escalar , cada elemento da matriz é multiplicado por . O determinante de então será elevado à potência da ordem da matriz, ou seja, , multiplicado pelo determinante original . Isso ocorre porque o determinante envolve multiplicações de elementos de linhas e colunas, e cada linha (ou coluna) terá um fator extra, resultando em .
Portanto, .

Resposta

(a)
(b)
©

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Encontre bases para e
Considere a matriz de dimensáo e a matriz de dimensao dadas abaixo:
Se
então calcule o elemento .
Seja uma matriz . Verifique as seguintes afirmações: (i) Se é inversível e existe uma matriz , tal que , então .