Primeiro, lembra que o determinante de uma matriz é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Uma propriedade fundamental dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas.
Então, quando multiplicamos duas matrizes e , o determinante do resultado é igual a vezes . Isso ocorre porque o determinante preserva a multiplicação de escala e áreas/volumes em transformações lineares representadas pelas matrizes.
Portanto, .
Passo 3
Parte (b): Precisamos mostrar que , onde é a transposta de .
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Uma propriedade importante do determinante é que ele permanece o mesmo quando tiramos a transposta da matriz. Isso porque a operação de transposição não altera o valor do determinante, já que ela apenas reorganiza os elementos da matriz sem mudar as relações que definem o determinante.
Quando multiplicamos uma matriz por um escalar , cada elemento da matriz é multiplicado por . O determinante de então será elevado à potência da ordem da matriz, ou seja, , multiplicado pelo determinante original . Isso ocorre porque o determinante envolve multiplicações de elementos de linhas e colunas, e cada linha (ou coluna) terá um fator extra, resultando em .