- Sejam
. Mostre que (a)
. (b)
.
© Se
, então
.
© Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre transposição de matrizes. O conteúdo aqui envolve operações com matrizes, especialmente a transposta. Vamos precisar lembrar como funciona a transposição e as propriedades de soma e multiplicação de matrizes. O exercício tem três partes que queremos provar:
a) A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas.
b) A transposta do produto de uma matriz por outra transposta é igual ao produto das transpostas inversas.
c) Se as matrizes têm o mesmo número de linhas e colunas, a transposta do produto é igual ao produto das transpostas invertidas.
b) A transposta do produto de uma matriz por outra transposta é igual ao produto das transpostas inversas.
c) Se as matrizes têm o mesmo número de linhas e colunas, a transposta do produto é igual ao produto das transpostas invertidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transposta de uma matriz. Se você tem uma matriz
, a transposta
é feita trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição
passa para a posição
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a parte (a): mostrar que
.
Sabemos que a soma de matrizes é feita elemento a elemento. Então, se
, então cada elemento
. Agora, ao transpor
, temos
, que é exatamente a soma de
e
na posição
.
Passo 4
Agora, a parte (b): mostrar que
.
Aqui, usamos a propriedade de que a transposição do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja,
. No nosso caso, temos
, então aplicando a propriedade, ficamos com
.
Sabemos que
, então simplificando, temos
.
Passo 5
Finalmente, a parte ©: se
, mostrar que
.
Novamente, aplicamos a propriedade da transposição do produto de matrizes. Quando
, as matrizes
e
são compatíveis para multiplicação, e podemos aplicar a regra:
Isso significa que para multiplicar
e depois transpor, é o mesmo que transpor
e
primeiro e multiplicar na ordem inversa.
Resposta
(a)
(b)
© , quando
.
(b)
©
Exercícios relacionados
Calcular:
d)
d)
Mostre que o conjunto
é uma base de
.
Encontre bases para
e
Determine
e y de modo que se tenha: