• Sejam . Mostre que (a) . (b) .
    © Se , então .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre transposição de matrizes. O conteúdo aqui envolve operações com matrizes, especialmente a transposta. Vamos precisar lembrar como funciona a transposição e as propriedades de soma e multiplicação de matrizes. O exercício tem três partes que queremos provar:
a) A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas.
b) A transposta do produto de uma matriz por outra transposta é igual ao produto das transpostas inversas.
c) Se as matrizes têm o mesmo número de linhas e colunas, a transposta do produto é igual ao produto das transpostas invertidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transposta de uma matriz. Se você tem uma matriz , a transposta é feita trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição passa para a posição .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a parte (a): mostrar que .
Sabemos que a soma de matrizes é feita elemento a elemento. Então, se , então cada elemento . Agora, ao transpor , temos , que é exatamente a soma de e na posição .

Passo 4

Agora, a parte (b): mostrar que .
Aqui, usamos a propriedade de que a transposição do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja, . No nosso caso, temos , então aplicando a propriedade, ficamos com .
Sabemos que , então simplificando, temos .

Passo 5

Finalmente, a parte ©: se , mostrar que .
Novamente, aplicamos a propriedade da transposição do produto de matrizes. Quando , as matrizes e são compatíveis para multiplicação, e podemos aplicar a regra:
Isso significa que para multiplicar e depois transpor, é o mesmo que transpor e primeiro e multiplicar na ordem inversa.

Resposta

(a)
(b)
© , quando .

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Calcular:
d)
Mostre que o conjunto é uma base de .
Encontre bases para e
Determine e y de modo que se tenha: