Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo x positivo dos vetores descritos pelas seguintes componentes:
(b) ax=-3 e ay=4. [R.: a=5, theta=126,86^circ.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor com as componentes e . Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: o módulo (ou comprimento) desse vetor e o ângulo que ele faz com o semieixo positivo. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e algumas fórmulas básicas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor. O módulo de um vetor que tem componentes a = raizax^2 + ay^2 e é dado pela fórmula:
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras, aplicando em vetores no plano.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
a = raiz(-3)^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o módulo do vetor é 5.

Passo 4

Agora que sabemos o módulo, vamos encontrar o ângulo que esse vetor faz com o semieixo tan(theta) = ayax positivo. Para isso, usamos a função tangente:
Mas precisamos prestar atenção na posição do vetor. Como é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante, então o ângulo que encontrarmos com a calculadora precisa ser ajustado para refletir isso.

Passo 5

Vamos calcular o ângulo usando a função arco-tangente:
theta = tan^-1(4-3)
theta = tan^-1(-43) approx -53,13^circ
Como o vetor está no segundo quadrante, adicionamos theta = 180^circ - 53,13^circ = 126,87^circ para obter o ângulo correto:
Arredondando, temos .

Resposta

O módulo do vetor é e o ângulo em relação ao semieixo positivo é .

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