O vetor a é dado por
a=3 imath+5 jmath
enquanto o vetor b tem módulo 6 e faz um ângulo de -25^circ em relação ao semieixo x positivo. Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo x positivo para os vetores:
(a) c=a+b. [R.: c=8,79, theta=16,25^circ.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores: o vetor a que é e o vetor b que tem módulo 6 e forma um ângulo de com o semieixo positivo do x. Nosso objetivo é encontrar o módulo e o ângulo do vetor c, que é a soma de a e b ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos separar o vetor b em suas componentes no eixo x e y. Sabemos que, se o vetor b tem módulo 6 e faz um ângulo de bx = 6 cos(-25^circ) com o x, suas componentes são:
by = 6 sin(-25^circ)
bx = 6 cos(25^circ)
Lembrando que o cosseno é par e o seno é ímpar, então:
by = -6 sin(25^circ)

Passo 3

Vamos calcular os valores numéricos das componentes de b:
bx = 6 times cos(25^circ) approx 6 times 0.9063 = 5.4378
by = -6 times sin(25^circ) approx -6 times 0.4226 = -2.5356

Passo 4

Agora, somamos as componentes de a e b para encontrar as componentes de c:
cx = ax + bx = 3 + 5.4378 = 8.4378
cy = ay + by = 5 + (-2.5356) = 2.4644

Passo 5

Com as componentes de c, vamos calcular o módulo de c usando o teorema de Pitágoras:
|c| = raizcx^2 + cy^2 = raiz8.4378^2 + 2.4644^2 approx raiz71.25 + 6.07 = raiz77.32 approx 8.79

Passo 6

Para encontrar o ângulo de c em relação ao eixo x, usamos a tangente inversa:
theta = tan^-1(cycx) = tan^-1(2.46448.4378) approx tan^-1(0.2919) approx 16.25^circ

Resposta

O vetor c tem módulo aproximadamente 8,79 e forma um ângulo de com o semieixo positivo do x.

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