Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo x positivo dos vetores descritos pelas seguintes componentes:
(d) ax=-3 e ay=-4. [R.: a=5, theta=233,13^circ.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o módulo e o ângulo de um vetor que tem as componentes ax = -3 e ay = -4. Esse tipo de problema está na área de Vetores e Trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras para achar o módulo e a função tangente inversa para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor. O módulo é basicamente o tamanho do vetor e pode ser encontrado usando o Teorema de Pitágoras, que diz que para um triângulo retângulo, a hipotenusa (neste caso, o módulo do vetor) é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos. A fórmula é:
|a| = raizax^2 + ay^2
Substituindo os valores:
|a| = raiz(-3)^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o módulo do vetor é 5.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo que o vetor forma com o semieixo positivo do x. Para isso, usamos a função tangente inversa (também conhecida como arco-tangente). A fórmula para o ângulo theta é:
theta = tan^-1(ayax)
Substituindo os valores:
theta = tan^-1(-4-3) = tan^-1(43) approx 53,13^circ
Porém, como as componentes ax e ay são negativas, o vetor está localizado no terceiro quadrante. Isso significa que precisamos adicionar 180^circ ao ângulo obtido:
thetafinal = 180^circ + 53,13^circ = 233,13^circ

Resposta

O módulo do vetor é 5 e o ângulo em relação ao semieixo x positivo é 233,13^circ.

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