Um objeto é lançado fazendo um ângulo com a horizontal de forma que .
(a) Há algum lugar da trajetória percorrida pelo objeto em que seus vetores aceleração e velocidade são perpendiculares entre si?

Passo 1

Vamos resumir o problema: um objeto é lançado com um ângulo em relação à horizontal, onde . Queremos descobrir se, em algum ponto da trajetória, os vetores aceleração e velocidade do objeto são perpendiculares. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento de projétil e propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento de projétil, a aceleração do objeto é sempre a aceleração da gravidade, que atua verticalmente para baixo. Essa aceleração pode ser representada pelo vetor , onde .

Passo 3

A velocidade do objeto em qualquer ponto da trajetória possui duas componentes: uma horizontal e outra vertical. A componente horizontal da velocidade, , é constante e igual a , onde é a velocidade inicial. A componente vertical da velocidade, , varia com o tempo e é dada por:

Passo 4

Para que os vetores aceleração ( ) e velocidade ( ) sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Ou seja:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
Queremos que isso seja igual a zero:

Passo 6

A condição significa que a componente vertical da velocidade é zero. Isso ocorre no ponto mais alto da trajetória do projétil, onde o objeto muda de direção na vertical.

Passo 7

No ponto mais alto, a velocidade é puramente horizontal ( ) e a aceleração é vertical ( ). Como um vetor horizontal é perpendicular a um vetor vertical, os vetores velocidade e aceleração são, de fato, perpendiculares nesse ponto.

Resposta

Sim, no ponto mais alto da trajetória, os vetores aceleração e velocidade são perpendiculares entre si.

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