Um objeto é lançado fazendo um ângulo
com a horizontal de forma que
.
(a) Há algum lugar da trajetória percorrida pelo objeto em que seus vetores aceleração e velocidade são perpendiculares entre si?
(a) Há algum lugar da trajetória percorrida pelo objeto em que seus vetores aceleração e velocidade são perpendiculares entre si?
Passo 1
Vamos resumir o problema: um objeto é lançado com um ângulo
em relação à horizontal, onde
. Queremos descobrir se, em algum ponto da trajetória, os vetores aceleração e velocidade do objeto são perpendiculares. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento de projétil e propriedades dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento de projétil, a aceleração do objeto é sempre a aceleração da gravidade, que atua verticalmente para baixo. Essa aceleração pode ser representada pelo vetor
, onde
.
Passo 3
A velocidade do objeto em qualquer ponto da trajetória possui duas componentes: uma horizontal e outra vertical. A componente horizontal da velocidade,
, é constante e igual a
, onde
é a velocidade inicial. A componente vertical da velocidade,
, varia com o tempo e é dada por:
Passo 4
Para que os vetores aceleração (
) e velocidade (
) sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar:
Queremos que isso seja igual a zero:
Passo 6
A condição
significa que a componente vertical da velocidade é zero. Isso ocorre no ponto mais alto da trajetória do projétil, onde o objeto muda de direção na vertical.
Passo 7
No ponto mais alto, a velocidade é puramente horizontal (
) e a aceleração é vertical (
). Como um vetor horizontal é perpendicular a um vetor vertical, os vetores velocidade e aceleração são, de fato, perpendiculares nesse ponto.
Resposta
Sim, no ponto mais alto da trajetória, os vetores aceleração e velocidade são perpendiculares entre si.