Determine o módulo e a direção dos seguintes vetores:
c) B=-5,5 i-3,2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para determinar o módulo e a direção do vetor B = -5,5, i - 3,2, j. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente como calcular o módulo (ou tamanho) de um vetor e o ângulo que ele forma com o eixo positivo x. Vamos precisar das fórmulas para o módulo do vetor e para calcular o ângulo usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor B. O módulo de um vetor V = a, i + b, j é dado pela fórmula:
|V| = raiza^2 + b^2
No nosso caso, a = -5,5 e b = -3,2. Vamos substituir esses valores na fórmula:
|B| = raiz(-5,5)^2 + (-3,2)^2

Passo 3

Vamos calcular os quadrados dos componentes:
(-5,5)^2 = 30,25
(-3,2)^2 = 10,24
Somando esses valores:
30,25 + 10,24 = 40,49
Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar o módulo:
|B| = raiz40,49 = 6,36
Então, o módulo do vetor B é 6,36 unidades.

Passo 4

Agora, vamos determinar a direção do vetor, ou seja, o ângulo que ele forma com o eixo positivo x. Para isso, usamos a função tangente, que relaciona o ângulo com as componentes do vetor:
tan(theta) = ba
Substituindo os valores de b e a:
tan(theta) = -3,2-5,5 = 3,25,5

Passo 5

Calculando a tangente:
tan(theta) = 3,25,5 approx 0,5818
Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco-tangente (tan ^-1):
theta = tan^-1(0,5818) approx 30,25^circ

Passo 6

Como as componentes a e b são ambas negativas (-5,5 e -3,2), isso significa que o vetor está no terceiro quadrante do plano cartesiano. Portanto, o ângulo real em relação ao eixo positivo x é:
thetareal = 180^circ + 30,25^circ = 210,25^circ

Resposta

O módulo do vetor B é aproximadamente 6,36 unidades e sua direção forma um ângulo de 210,25° com o eixo positivo x.

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