Determine o módulo e a direção dos seguintes vetores:
a) A=3 i+4 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor A = 3i + 4j e precisa descobrir duas coisas: o módulo (que é como o comprimento do vetor) e a direção dele (ou seja, o ângulo que ele forma com o eixo i). Para isso, vamos usar algumas fórmulas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor. O módulo de um vetor A = ai + bj é calculado usando a fórmula:
|A| = raiza^2 + b^2
Aqui, a é a componente do vetor na direção do eixo i e b é a componente na direção do eixo j.

Passo 3

Aplicando os valores do nosso vetor A = 3i + 4j na fórmula, fica assim:
|A| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o módulo do vetor A é 5.

Passo 4

Agora, vamos descobrir a direção do vetor, ou seja, o ângulo que ele forma com o eixo i. Para isso, usamos a função tangente:
tan(theta) = ba
Onde theta é o ângulo que queremos encontrar, b é a componente em j, e a é a componente em i.

Passo 5

Substituindo os valores do vetor A na fórmula:
tan(theta) = 43
Para achar theta, usamos a função arco-tangente:
theta = arctan(43) approx 53,13^circ

Resposta

O vetor A = 3i + 4j tem módulo igual a 5 e forma um ângulo de aproximadamente 53,13^circ com o eixo i.

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