Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) A=5 i+3 j, (b) B=10 i-7 j e © C=2 imath-3 jmath+4 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o módulo, a direção e o sentido de três vetores diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de vetores que envolvem cálculo de magnitude (módulo) e ângulos (direção e sentido). Vamos precisar das componentes de cada vetor e das fórmulas para calcular o módulo e o ângulo que o vetor forma com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o módulo de um vetor. O módulo é o tamanho ou a magnitude do vetor, que podemos calcular usando o teorema de Pitágoras. Para um vetor bidimensional V = Vx i + Vy j, o módulo é dado por:
|V| = raizVx^2 + Vy^2
Para vetores tridimensionais, como C, a fórmula se estende para incluir a componente no eixo z:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de cada vetor.
a) Vetor A=5 i+3 j:
Usando a fórmula do módulo:
|A| = raiz5^2 + 3^2 = raiz25 + 9 = raiz34 approx 5,83
b) Vetor B=10 i-7 j:
|B| = raiz10^2 + (-7)^2 = raiz100 + 49 = raiz149 approx 12,21
c) Vetor C=2 imath-3 jmath+4 k:
|C| = raiz2^2 + (-3)^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29 approx 5,39

Passo 4

Agora vamos para a direção dos vetores. A direção de um vetor bidimensional é geralmente representada pelo ângulo que ele forma com o eixo positivo das abscissas (eixo x). Para calcular esse ângulo theta, usamos a função tangente inversa:
theta = tan^-1(VyVx)
Para vetores tridimensionais, podemos calcular os ângulos com cada um dos eixos, mas vamos focar na direção geral para simplificação.

Passo 5

Vamos calcular a direção de cada vetor.
a) Vetor A=5 i+3 j:
thetaA = tan^-1(35) approx tan^-1(0,6) approx 30,96°
b) Vetor B=10 i-7 j:
Note que o componente y é negativo, então o vetor está no quarto quadrante.
thetaB = tan^-1(-710) approx tan^-1(-0,7) approx -35°
Para o sentido positivo do ângulo, adicionamos 360°:
thetaB = 360° - 35° = 325°
c) Vetor C=2 imath-3 jmath+4 k:
Para vetores tridimensionais, podemos calcular o ângulo com o eixo x, y e z separadamente, mas aqui vamos considerar a direção geral.

Passo 6

Finalmente, o sentido do vetor está relacionado à direção que ele aponta em relação aos eixos. Com base nos sinais das componentes:
a) Vetor A:
  • Componente i positiva: aponta para a direita.
  • Componente j positiva: aponta para cima.
b) Vetor B:
  • Componente i positiva: aponta para a direita.
  • Componente j negativa: aponta para baixo.
c) Vetor C:
  • Componente i positiva: aponta para a direita.
  • Componente j negativa: aponta para baixo.
  • Componente k positiva: aponta para frente (em 3D).

Resposta

a) Vetor A=5 i+3 j
  • Módulo: aproximadamente 5,83 unidades
  • Direção: aproximadamente 30,96°
  • Sentido: aponta para cima e para a direita
b) Vetor B=10 i-7 j
  • Módulo: aproximadamente 12,21 unidades
  • Direção: 325°
  • Sentido: aponta para baixo e para a direita
c) Vetor C=2 imath-3 jmath+4 k
  • Módulo: aproximadamente 5,39 unidades
  • Direção: direção geral no espaço tridimensional formada pelos eixos x, y e z
  • Sentido: aponta para baixo, para a direita e para frente

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