Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a)
, (b)
e ©
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o módulo, a direção e o sentido de três vetores diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de vetores que envolvem cálculo de magnitude (módulo) e ângulos (direção e sentido). Vamos precisar das componentes de cada vetor e das fórmulas para calcular o módulo e o ângulo que o vetor forma com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o módulo de um vetor. O módulo é o tamanho ou a magnitude do vetor, que podemos calcular usando o teorema de Pitágoras. Para um vetor bidimensional
, o módulo é dado por:
Para vetores tridimensionais, como
, a fórmula se estende para incluir a componente no eixo z:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo de cada vetor.
a) Vetor
:
Usando a fórmula do módulo:
b) Vetor
:
c) Vetor
:
Passo 4
Agora vamos para a direção dos vetores. A direção de um vetor bidimensional é geralmente representada pelo ângulo que ele forma com o eixo positivo das abscissas (eixo x). Para calcular esse ângulo
, usamos a função tangente inversa:
Para vetores tridimensionais, podemos calcular os ângulos com cada um dos eixos, mas vamos focar na direção geral para simplificação.
Passo 5
Vamos calcular a direção de cada vetor.
a) Vetor
:
b) Vetor
:
Note que o componente y é negativo, então o vetor está no quarto quadrante.
Para o sentido positivo do ângulo, adicionamos 360°:
c) Vetor
:
Para vetores tridimensionais, podemos calcular o ângulo com o eixo x, y e z separadamente, mas aqui vamos considerar a direção geral.
Passo 6
Finalmente, o sentido do vetor está relacionado à direção que ele aponta em relação aos eixos. Com base nos sinais das componentes:
a) Vetor
:
- Componente i positiva: aponta para a direita.
- Componente j positiva: aponta para cima.
b) Vetor
:
- Componente i positiva: aponta para a direita.
- Componente j negativa: aponta para baixo.
c) Vetor
:
- Componente i positiva: aponta para a direita.
- Componente j negativa: aponta para baixo.
- Componente k positiva: aponta para frente (em 3D).
Resposta
a) Vetor
- Módulo: aproximadamente 5,83 unidades
- Direção: aproximadamente 30,96°
- Sentido: aponta para cima e para a direita
b) Vetor
- Módulo: aproximadamente 12,21 unidades
- Direção: 325°
- Sentido: aponta para baixo e para a direita
c) Vetor
- Módulo: aproximadamente 5,39 unidades
- Direção: direção geral no espaço tridimensional formada pelos eixos x, y e z
- Sentido: aponta para baixo, para a direita e para frente