João sobe em uma árvore para conseguir uma boa visão do palestrante de uma cerimônia de formatura realizada a céu aberto. Infelizmente, ele esqueceu seu binóculo. Márcia, embaixo da árvore, lança o binóculo para João, porém sua força é maior do que sua precisão. O binóculo passa pela mão estendida de João 0.69 s após o lançamento e, novamente, após a primeira passagem. Qual é a altura em que João se encontra na árvore?

Passo 1

Vamos resolver esse problema que envolve o movimento de um objeto lançado para cima. A situação é a seguinte: a Márcia lança o binóculo para o João, que está na árvore. O binóculo passa pela mão de João duas vezes, primeiro 0,69 segundos após o lançamento e depois novamente 1,68 segundos após a primeira passagem. Nosso objetivo é descobrir a altura em que João está na árvore. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis importantes:
  • segundos: tempo da primeira passagem do binóculo pela mão de João.
  • segundos: intervalo entre a primeira e a segunda passagem.
  • : aceleração da gravidade.
O tempo total desde o lançamento até a segunda passagem é:

Passo 3

Vamos considerar a altura onde João está. A posição do binóculo em qualquer instante pode ser descrita pela equação:
onde é a velocidade inicial com que o binóculo foi lançado.
Como o binóculo passa por duas vezes, podemos escrever duas equações:

Passo 4

Subtraindo a equação (1) da equação (2), temos:
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Agora que temos , podemos usar a equação (1) para encontrar :
Calculando cada parte:
Subtraindo:

Resposta

João está a aproximadamente 8,02 metros de altura na árvore.

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