João sobe em uma árvore para conseguir uma boa visão do palestrante de uma cerimônia de formatura realizada a céu aberto. Infelizmente, ele esqueceu seu binóculo. Márcia, embaixo da árvore, lança o binóculo para João, porém sua força é maior do que sua precisão. O binóculo passa pela mão estendida de João 0.69 s após o lançamento e, novamente, 1.68 s após a primeira passagem. Qual é a altura em que João se encontra na árvore?

Passo 1

Vamos resolver esse problema que envolve o movimento de um objeto lançado para cima. A situação é a seguinte: a Márcia lança o binóculo para o João, que está na árvore. O binóculo passa pela mão de João duas vezes, primeiro 0,69 segundos após o lançamento e depois novamente 1,68 segundos após a primeira passagem. Nosso objetivo é descobrir a altura em que João está na árvore. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis importantes:
  • T = t1 + t2 = 0,69 , s + 1,68 , s = 2,37 , s segundos: tempo da primeira passagem do binóculo pela mão de João.
  • segundos: intervalo entre a primeira e a segunda passagem.
  • : aceleração da gravidade.
O tempo total desde o lançamento até a segunda passagem é:

Passo 3

Vamos considerar a altura h = v0 t - 12 g t^2 onde João está. A posição do binóculo em qualquer instante h = v0 t1 - 12 g t1^2 (1) pode ser descrita pela equação:
h = v0 T - 12 g T^2 (2)
onde é a velocidade inicial com que o binóculo foi lançado.
Como o binóculo passa por duas vezes, podemos escrever duas equações:

Passo 4

Subtraindo a equação (1) da equação (2), temos:
0 = v0 (T - t1) - 12 g (T^2 - t1^2)
Resolvendo para v0 = 12 g (T^2 - t1^2)T - t1 :
v0 = g (T + t1)2
Simplificando:

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
v0 = 9,8 , m/s^2 times (2,37 , s + 0,69 , s)2 = 9,8 times 3,062 = 29,9882 = 14,994 , m/s

Passo 6

Agora que temos h = v0 t1 - 12 g t1^2 = 14,994 times 0,69 - 12 times 9,8 times (0,69)^2 , podemos usar a equação (1) para encontrar 14,994 times 0,69 approx 10,346 , m :
12 times 9,8 times 0,4761 approx 2,326 , m
Calculando cada parte:
h = 10,346 , m - 2,326 , m approx 8,020 , m
Subtraindo:

Resposta

João está a aproximadamente 8,02 metros de altura na árvore.

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