Determine o módulo elástico para o tungstênio e para o MgO ao longo das direções [112],[122] e [123].
10^-3 GPa^-1 S11 S12 S44
W 2,57 -0,73 6,6
MgO 4,03 -0,94 6,47
Qual o valor médio do módulo de elasticidade E e do módulo de cisalhamento G ? Estime os valores teóricos da tensão de escoamento e da tensão de clivagem destes materiais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar o módulo elástico e o módulo de cisalhamento para o tungstênio (W) e para o MgO, ao longo das direções [112], [122] e [123]. Além disso, precisamos calcular o valor médio de e , e estimar as tensões de escoamento e de clivagem desses materiais. Para isso, vamos usar os dados da matriz de conformidade elástica fornecidos. Vamos precisar entender como relacionar a matriz de conformidade com os módulos elásticos e aplicar as fórmulas corretas para fazer esses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz de conformidade elástica varepsilon11 varepsilon22 varepsilon33 gamma23 gamma13 gamma12 = S sigma11 sigma22 sigma33 sigma23 sigma13 sigma12 . Essa matriz relaciona as deformações ( ) com as tensões ( ) nos materiais através da equação:

[

\mathrm{S}

]
Nesse caso, para simplificar, consideraremos simetrias e direções específicas que nos permitem focar nos componentes , e .

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a matriz de conformidade E = 1S11 - S12 com os módulos elásticos G = 1S44 e .
O módulo de elasticidade pode ser calculado usando a fórmula:
E o módulo de cisalhamento é simplesmente:
Essas fórmulas vêm das relações entre tensões e deformações nos materiais isotrópicos, onde e são componentes da matriz de conformidade que descrevem como o material responde a tensões normais, e descreve a resposta a tensões de cisalhamento.

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas aos dados fornecidos para o tungstênio (W) e para o MgO.
Para o tungstênio (W):
S11 = 2,57 times 10^-3 , GPa^-1
S12 = -0,73 times 10^-3 , GPa^-1
S44 = 6,6 times 10^-3 , GPa^-1
Calculando EW = 1S11 - S12 = 12,57 times 10^-3 - (-0,73 times 10^-3) = 13,30 times 10^-3 approx 303 , GPa :
GW = 1S44 = 16,6 times 10^-3 approx 151,5 , GPa
Calculando S11 = 4,03 times 10^-3 , GPa^-1 :
S12 = -0,94 times 10^-3 , GPa^-1
Para o MgO:
S44 = 6,47 times 10^-3 , GPa^-1
EMgO = 1S11 - S12 = 14,03 times 10^-3 - (-0,94 times 10^-3) = 14,97 times 10^-3 approx 201,6 , GPa
GMgO = 1S44 = 16,47 times 10^-3 approx 154,7 , GPa
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor médio dos módulos elásticos Emédio = EW + EMgO2 = 303 + 201,62 approx 252,3 , GPa e Gmédio = GW + GMgO2 = 151,5 + 154,72 approx 153,1 , GPa para os dois materiais.
Para :
é
Para :
é

Passo 6

Finalmente, vamos estimar os valores teóricos da tensão de escoamento ( sigmae approx E10 ) e da tensão de clivagem ( sigmac approx E5 ) para esses materiais.
A tensão de escoamento pode ser estimada usando a relação empírica:
sigmaeW approx 30310 approx 30,3 , GPa
E a tensão de clivagem pode ser aproximada por:
sigmacW approx 3035 approx 60,6 , GPa
Aplicando essas fórmulas:
Para o tungstênio (W):
sigmaeMgO approx 201,610 approx 20,16 , GPa
sigmacMgO approx 201,65 approx 40,32 , GPa
Para o MgO:

Resposta

O valor médio do módulo de elasticidade é aproximadamente 252,3 GPa e o módulo de cisalhamento é cerca de 153,1 GPa. As tensões teóricas estimadas são aproximadamente 30,3 GPa para a tensão de escoamento e 60,6 GPa para a tensão de clivagem no tungstênio, e 20,16 GPa para a tensão de escoamento e 40,32 GPa para a tensão de clivagem no MgO.

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