A displacement field in a body is given by
where . Determine the state of strain on an element positioned at .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo de deslocamento em um corpo, com as componentes , e definidas em função das coordenadas , e . A gente precisa determinar o estado de deformação (ou tensor de deformação) em um ponto específico, que é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente o cálculo das derivadas parciais dos deslocamentos para achar o tensor de deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o tensor de deformação é uma matriz que descreve como o material se deforma. Ele é calculado usando as derivadas parciais das componentes de deslocamento. As fórmulas para os componentes do tensor de deformação são:
Onde e são as componentes de deslocamento nas direções e .

Passo 3

Vamos identificar as componentes de deslocamento que temos:
Com . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessas funções em relação a , e no ponto .

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de :
  1. Derivadas de :
  1. Derivadas de :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Com essas derivadas, podemos montar o tensor de deformação . Lembrando que:
E cada componente é calculada pela média das derivadas cruzadas:

Passo 7

Vamos calcular cada componente:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

O estado de deformação no ponto é dado pelo tensor de deformação:
Onde . Substituindo o valor de :

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