A displacement field in a body is given by
u & =c(x^2+10) v & =2 c y z w & =c(-x y+z^2)
where c=10^-4. Determine the state of strain on an element positioned at (0,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo de deslocamento em um corpo, com as componentes , e definidas em função das coordenadas , e . A gente precisa determinar o estado de deformação (ou tensor de deformação) em um ponto específico, que é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente o cálculo das derivadas parciais dos deslocamentos para achar o tensor de deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o tensor de deformação varepsilonij = 12 ( partial uipartial xj + partial ujpartial xi ) é uma matriz que descreve como o material se deforma. Ele é calculado usando as derivadas parciais das componentes de deslocamento. As fórmulas para os componentes do tensor de deformação são:
Onde e são as componentes de deslocamento nas direções e .

Passo 3

Vamos identificar as componentes de deslocamento que temos:
u & = c(x^2 + 10) v & = 2c y z w & = c(-x y + z^2)
Com . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessas funções em relação a , e no ponto .

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de partial upartial x = 2c x, partial upartial y = 0, partial upartial z = 0 :
partial vpartial x = 0, partial vpartial y = 2c z, partial vpartial z = 2c y
  1. Derivadas de partial wpartial x = -c y, partial wpartial y = -c x, partial wpartial z = 2c z :
  1. Derivadas de :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto partial upartial x = 2c cdot 0 = 0, partial upartial y = 0, partial upartial z = 0 :
  1. Para partial vpartial x = 0, partial vpartial y = 2c cdot 1 = 2c, partial vpartial z = 2c cdot 2 = 4c :
partial wpartial x = -c cdot 2 = -2c, partial wpartial y = -c cdot 0 = 0, partial wpartial z = 2c cdot 1 = 2c
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Com essas derivadas, podemos montar o tensor de deformação varepsilon = varepsilonxx & varepsilonxy & varepsilonxz varepsilonyx & varepsilonyy & varepsilonyz varepsilonzx & varepsilonzy & varepsilonzz . Lembrando que:
varepsilonij = 12 ( partial uipartial xj + partial ujpartial xi )
E cada componente é calculada pela média das derivadas cruzadas:

Passo 7

Vamos calcular cada componente:
  1. varepsilonxx = 12 ( partial upartial x + partial upartial x ) = 12 (0 + 0) = 0 :
varepsilonyy = 12 ( partial vpartial y + partial vpartial y ) = 12 (2c + 2c) = 2c
  1. varepsilonzz = 12 ( partial wpartial z + partial wpartial z ) = 12 (2c + 2c) = 2c :
varepsilonxy = varepsilonyx = 12 ( partial upartial y + partial vpartial x ) = 12 (0 + 0) = 0
  1. varepsilonxz = varepsilonzx = 12 ( partial upartial z + partial wpartial x ) = 12 (0 + (-2c)) = -c :
varepsilonyz = varepsilonzy = 12 ( partial vpartial z + partial wpartial y ) = 12 (4c + 0) = 2c
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

O estado de deformação no ponto varepsilon = 0 & 0 & -c 0 & 2c & 2c -c & 2c & 2c é dado pelo tensor de deformação:
varepsilon = 0 & 0 & -10^-4 0 & 2 times 10^-4 & 2 times 10^-4 -10^-4 & 2 times 10^-4 & 2 times 10^-4
Onde . Substituindo o valor de :

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