Determine o módulo dos seguintes números complexos: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir o módulo de um número complexo que está na forma de fração com potências: . A gente vai usar conceitos de números complexos, especificamente sobre como calcular o módulo deles e como manipular potências e frações envolvendo módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o módulo de um número complexo. Se temos um número complexo , o módulo de , representado por , é a distância desse ponto até a origem no plano complexo. A fórmula para calcular é:

Passo 3

Vamos calcular o módulo de cada parte do nosso número complexo. Primeiro, para :

Passo 4

Agora, para :

Passo 5

Sabemos que o módulo de uma potência de um número complexo é o módulo do número elevado à potência. Ou seja:
E semelhante para o denominador:

Passo 6

Agora, aplicando a propriedade do módulo de uma fração, que é o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador:

Passo 7

Vamos simplificar as potências. Lembrando que . Então:

Resposta

O módulo do número complexo é .

Exercícios relacionados

Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : , se
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Mostre que se então .
Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
a) injetora mas não sobrejetora