Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : , se

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois números complexos, e (com ), e queremos provar que o conjugado da divisão é igual à divisão dos conjugados, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos números complexos, especialmente sobre o conjugado e as operações de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo , seu conjugado é . O conjugado inverte o sinal da parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos considerar a divisão de dois números complexos e . A divisão pode ser multiplicada pelo conjugado de no numerador e no denominador para simplificar. Isso é útil porque o produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.

Passo 4

Vamos aplicar essa ideia à expressão :
Agora, vamos tirar o conjugado de ambos os lados dessa igualdade:
Como é um número real, seu conjugado é ele mesmo:
Isso mostra que:

Resposta

Provaram-se as igualdades válidas para todos com :

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Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Determine o módulo dos seguintes números complexos: .
Mostre que se então .