Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : , se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois números complexos, e (com ), e queremos provar que o conjugado da divisão é igual à divisão dos conjugados, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos números complexos, especialmente sobre o conjugado e as operações de divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo , seu conjugado é . O conjugado inverte o sinal da parte imaginária.
Passo 3
Agora, vamos considerar a divisão de dois números complexos e . A divisão pode ser multiplicada pelo conjugado de no numerador e no denominador para simplificar. Isso é útil porque o produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.
Passo 4
Vamos aplicar essa ideia à expressão :
Agora, vamos tirar o conjugado de ambos os lados dessa igualdade:
Como é um número real, seu conjugado é ele mesmo:
Isso mostra que:
Resposta
Provaram-se as igualdades válidas para todos com :