Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos um número complexo , então a magnitude (ou módulo) desse número, que é , satisfaz as desigualdades . Vamos usar conceitos de números complexos e propriedades de módulos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um número complexo. Se , então o módulo é dado por:
Isso vem da definição geométrica do número complexo no plano complexo, onde é a parte real e é a parte imaginária.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que . Sabemos que e são os valores absolutos de e , respectivamente.
Pela desigualdade triangular, temos:
Isso porque a soma dos segmentos e é sempre maior ou igual à hipotenusa em um triângulo retângulo.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que . Podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para isso.
Sabemos que:
A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que para quaisquer números reais e :