Mostre que se z = a + i b então |z| <= |a| + |b| <= raiz(2) |z|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos um número complexo , então a magnitude (ou módulo) desse número, que é , satisfaz as desigualdades . Vamos usar conceitos de números complexos e propriedades de módulos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um número complexo. Se , então o módulo é dado por:
Isso vem da definição geométrica do número complexo no plano complexo, onde é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que . Sabemos que e são os valores absolutos de e , respectivamente.
Pela desigualdade triangular, temos:
Isso porque a soma dos segmentos e é sempre maior ou igual à hipotenusa em um triângulo retângulo.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que . Podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para isso.
Sabemos que:
A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que para quaisquer números reais e :

Resposta

Portanto, mostramos que para :

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