Mostre que se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos um número complexo
, então a magnitude (ou módulo) desse número, que é
, satisfaz as desigualdades
. Vamos usar conceitos de números complexos e propriedades de módulos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um número complexo. Se
, então o módulo
é dado por:
Isso vem da definição geométrica do número complexo no plano complexo, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
. Sabemos que
e
são os valores absolutos de
e
, respectivamente.
Pela desigualdade triangular, temos:
Isso porque a soma dos segmentos
e
é sempre maior ou igual à hipotenusa
em um triângulo retângulo.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
. Podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para isso.
Sabemos que:
A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que para quaisquer números reais
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que para
: