determine o módulo da velocidade da partícula na posição
à frente do ponto de equilibrio estável. A energia potencial de um corpo de massa 50 g , restrito ao eixo
, é dada por
, onde
está em joules e
está em metros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o módulo da velocidade de uma partícula quando ela está a
à frente do ponto de equilíbrio estável. Estamos lidando com Energia Potencial e Dinâmica de Partículas. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de conservação de energia, que nos ajuda a relacionar a energia potencial e a energia cinética da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto de equilíbrio estável. O ponto de equilíbrio ocorre onde a derivada da energia potencial em relação a
é zero, ou seja, onde
.
A energia potencial é dada por:
Calculando a derivada:
Igualando a zero para encontrar o ponto de equilíbrio:
Então, temos
ou
. Agora, vamos verificar qual desses pontos é estável. Para isso, analisamos a segunda derivada:
Avaliar no ponto
:
Isso indica que
é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 3
Agora que sabemos que o ponto de equilíbrio estável é
, precisamos encontrar a velocidade quando a partícula está a
.
Vamos usar a Conservação da Energia Mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) em qualquer ponto é constante se não há forças dissipativas.
A energia mecânica no ponto de equilíbrio (onde
) é puramente cinética, já que
:
Se a partícula passa pelo ponto de equilíbrio com velocidade máxima, a energia total é:
Quando a partícula está a
, ela tem energia potencial e cinética:
Igualando as duas expressões para a energia total:
Mas isso não faz sentido, então vamos ajustar nossa abordagem. Na verdade, a energia total no ponto de equilíbrio é apenas cinética, e no ponto
, parte dessa energia é convertida em energia potencial.
Então, podemos escrever:
Como
é a velocidade máxima, vamos considerar que toda a energia cinética no equilíbrio é convertida em energia potencial no ponto
menos a energia cinética restante.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, a massa
.
Usando a conservação de energia:
Mas como não temos
, precisamos reconsiderar. Na verdade, podemos assumir que no ponto de equilíbrio estável, a partícula tem sua energia mínima, então a velocidade lá é zero e toda a energia é potencial. Vamos usar a diferença de energia entre dois pontos para encontrar a velocidade.
Então, se a partícula se move do ponto de equilíbrio para
, a energia potencial aumenta e a energia cinética diminui. A variação de energia potencial se converte em energia cinética.
Então:
Passo 5
Resolvendo para
:
Resposta
O módulo da velocidade da partícula na posição
é aproximadamente
.