determine o módulo da velocidade da partícula na posição x=0,40 m à frente do ponto de equilibrio estável. A energia potencial de um corpo de massa 50 g , restrito ao eixo x, é dada por U(x)= 3 x^2-2 x^3, onde U está em joules e x está em metros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o módulo da velocidade de uma partícula quando ela está a 0,40 , m à frente do ponto de equilíbrio estável. Estamos lidando com Energia Potencial e Dinâmica de Partículas. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de conservação de energia, que nos ajuda a relacionar a energia potencial e a energia cinética da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto de equilíbrio estável. O ponto de equilíbrio ocorre onde a derivada da energia potencial em relação a x é zero, ou seja, onde U'(x) = 0.
A energia potencial é dada por:
U(x) = 3x^2 - 2x^3
Calculando a derivada:
U'(x) = dUdx = 6x - 6x^2
Igualando a zero para encontrar o ponto de equilíbrio:
6x - 6x^2 = 0
6x(1 - x) = 0
Então, temos x = 0 ou x = 1 , m. Agora, vamos verificar qual desses pontos é estável. Para isso, analisamos a segunda derivada:
U''(x) = d^2Udx^2 = 6 - 12x
Avaliar no ponto x = 0:
U''(0) = 6 - 0 = 6 > 0
Isso indica que x = 0 é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 3

Agora que sabemos que o ponto de equilíbrio estável é x = 0, precisamos encontrar a velocidade quando a partícula está a x = 0,40 , m.
Vamos usar a Conservação da Energia Mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) em qualquer ponto é constante se não há forças dissipativas.
A energia mecânica no ponto de equilíbrio (onde x=0) é puramente cinética, já que U(0) = 0:
Etotal = Kequilíbrio + U(0) í
Se a partícula passa pelo ponto de equilíbrio com velocidade máxima, a energia total é:
Etotal = 12 m v^2
Quando a partícula está a x = 0,40 , m, ela tem energia potencial e cinética:
Etotal = 12 m v^2 + U(0,40)
Igualando as duas expressões para a energia total:
12 m v^2 = 12 m v^2 + U(0,40)
Mas isso não faz sentido, então vamos ajustar nossa abordagem. Na verdade, a energia total no ponto de equilíbrio é apenas cinética, e no ponto x = 0,40 , m, parte dessa energia é convertida em energia potencial.
Então, podemos escrever:
12 m vequilíbrio^2 = 12 m v^2 + U(0,40) í
Como vequilíbrioí é a velocidade máxima, vamos considerar que toda a energia cinética no equilíbrio é convertida em energia potencial no ponto x = 0,40 , m menos a energia cinética restante.

Passo 4

Vamos calcular U(0,40):
U(0,40) = 3(0,40)^2 - 2(0,40)^3
U(0,40) = 3(0,16) - 2(0,064)
U(0,40) = 0,48 - 0,128
U(0,40) = 0,352 , J
Agora, a massa m = 50 , g = 0,05 , kg.
Usando a conservação de energia:
12 m vequilíbrio^2 = 12 m v^2 + U(0,40) í
Mas como não temos vequilíbrioí, precisamos reconsiderar. Na verdade, podemos assumir que no ponto de equilíbrio estável, a partícula tem sua energia mínima, então a velocidade lá é zero e toda a energia é potencial. Vamos usar a diferença de energia entre dois pontos para encontrar a velocidade.
Então, se a partícula se move do ponto de equilíbrio para x = 0,40 , m, a energia potencial aumenta e a energia cinética diminui. A variação de energia potencial se converte em energia cinética.
Então:
De
0,352 = 12 times 0,05 times v^2

Passo 5

Resolvendo para v:
0,352 = 0,025 times v^2
v^2 = 0,3520,025
v^2 = 14,08
v = raiz14,08
v approx 3,75 , m/s

Resposta

O módulo da velocidade da partícula na posição x = 0,40 , m é aproximadamente 3,75 , m/s.

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