Encontre a velocidade v e a posição x-em função de t nos itens (a) e (b) e a velocidade v em função da posição x nos itens © e (d), para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0 ( xo=0 ) sujeita às seguintes forças: (Vekrer 2, rho pertos)
c) Fx=Fo e^-c x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa Fx = F0 e^-c x que começa do repouso (ou seja, sua velocidade inicial é zero) no ponto no tempo . A partícula está sob a ação de uma força que depende da posição , dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade da partícula em função da posição (item c).

Passo 2

Para encontrar a velocidade Ec = 12 m v^2 em função de , vamos usar o Princípio da Conservação da Energia. Esse princípio nos diz que o trabalho feito pela força sobre a partícula é igual à variação da energia cinética dela.
A energia cinética ( ) é dada por:
Como a partícula parte do repouso, a energia cinética inicial é zero. Então, o trabalho realizado pela força até uma posição será igual à energia cinética nessa posição.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho feito pela força W = integral0^x Fx , dx = integral0^x F0 e^-c x , dx ao mover a partícula de até uma posição . O trabalho ( ) é a integral da força em relação ao deslocamento:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
W = F0 integral0^x e^-c x , dx
A integral de W = F0 [ -1c e^-c x ]0^x = F0 ( -1c e^-c x + 1c ) = F0c ( 1 - e^-c x ) em relação a é . Então:

Passo 5

De acordo com o Princípio da Conservação da Energia, esse trabalho é igual à energia cinética:
F0c ( 1 - e^-c x ) = 12 m v^2
Agora, vamos resolver para v^2 = 2 F0m c ( 1 - e^-c x ) :
v = raiz 2 F0m c ( 1 - e^-c x )

Resposta

A velocidade v(x) = raiz, dfrac2 F0m c (1 - e^-c x) , em função da posição é:

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