Encontre a velocidade
e a posição
-em função de
nos itens (a) e (b) e a velocidade
em função da posição
nos itens © e (d), para uma particula de massa
que parte do repouso em
(
) sujeita às seguintes forças: (Vekrer
b)
sen ct
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa
que começa do zero, ou seja, está parada em
e na posição
. A força que age sobre ela é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade
e a posição
dessa partícula em função do tempo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton, especialmente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar integrar para passar da aceleração para a velocidade e, depois, para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz:
Onde
é a força,
é a massa e
é a aceleração.
Aqui, a força que atua é
, então podemos escrever:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), temos:
Passo 3
Vamos isolar
:
Agora, para encontrar a velocidade
, precisamos integrar essa expressão em relação ao tempo:
Passo 4
Vamos realizar a integração:
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Como a partícula parte do repouso (
), podemos determinar
:
Então, a velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade:
Fazendo a integral:
Como
, a constante
. Portanto:
Resposta
A velocidade e a posição da partícula em função do tempo são, respectivamente: