Encontre a velocidade v e a posição x-em função de t nos itens (a) e (b) e a velocidade v em função da posição x nos itens © e (d), para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0 ( xo=0 ) sujeita às seguintes forças: (Vekrer 2, rho pertos)
b) Fx=Fo sen ct

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa que começa do zero, ou seja, está parada em e na posição . A força que age sobre ela é . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade e a posição dessa partícula em função do tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton, especialmente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar integrar para passar da aceleração para a velocidade e, depois, para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz:
F = m cdot a
Onde F0 sin(ct) = m cdot a é a força, F0 sin(ct) = m cdot dvdt é a massa e é a aceleração.
Aqui, a força que atua é , então podemos escrever:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), temos:

Passo 3

Vamos isolar dvdt = F0m sin(ct) :
v(t) = integral F0m sin(ct) , dt
Agora, para encontrar a velocidade , precisamos integrar essa expressão em relação ao tempo:

Passo 4

Vamos realizar a integração:
v(t) = F0m integral sin(ct) , dt
A integral de integral sin(ct) , dt = -1c cos(ct) + C em relação a v(0) = -F0m c cos(0) + C = 0 Rightarrow C = F0m c é:
v(t) = F0m c (1 - cos(ct))
Onde é a constante de integração. Como a partícula parte do repouso ( ), podemos determinar :
Então, a velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = F0m c integral (1 - cos(ct)) , dt integrando a velocidade:
x(t) = F0m c ( t - 1c sin(ct) ) + C'
Fazendo a integral:
x(t) = F0m c t - F0m c^2 sin(ct)
Como , a constante . Portanto:

Resposta

A velocidade e a posição da partícula em função do tempo são, respectivamente:
v(t) = F0m c (1 - cos(ct))
x(t) = F0m c t - F0m c^2 sin(ct)

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