Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
© dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a matriz de uma transformação linear nas bases de e de . A transformação é dada por . Vamos precisar entender como representar uma transformação linear em matrizes usando bases específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz , precisamos aplicar a transformação aos vetores da base e expressar os resultados na base . A base é e a base é .

Passo 3

Vamos aplicar a cada vetor da base .
  1. Para o vetor :
    • Coeficientes: , , .
    • .
  2. Para o vetor :
    • Coeficientes: , , .
    • .
  3. Para o vetor :
    • Coeficientes: , , .
    • .

Passo 4

Agora, precisamos expressar cada um desses resultados na base . Ou seja, vamos encontrar coordenadas na base para os vetores , e .
Vamos chamar as coordenadas de para cada vetor, de modo que:
Vamos resolver isso para cada vetor.
  1. Para :
    Da primeira equação, .
    Substituindo na segunda: .
    Substituindo na terceira: .
  2. Para :
    Da primeira equação, .
    Substituindo na segunda: .
    Substituindo na terceira: .
  3. Para :
    Da primeira equação, .
    Substituindo na segunda: .
    Substituindo na terceira: .

Passo 5

Agora que temos as coordenadas de cada imagem na base , podemos montar a matriz . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados.
  • Primeira coluna:
  • Segunda coluna:
  • Terceira coluna:

Resposta

A matriz é dada por:

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Determine o módulo do vetor , sabendo que resulta em um vetor na direção positiva do semieixo com módulo igual ao de , onde .