Exercício 2. Dadas T: V W linear, alpha base de V e beta base de W, calcule [T]beta^alpha.
© T: P2(R) R^3 dada por T(a+b x+c x^2)=(a+b, 2 b+c, a-c), alpha=1+x^2, 1,1+x+x^2 e beta=(1,-1,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a matriz de uma transformação linear T: P2(R) R^3 nas bases alpha de V = P2(R) e beta de W = R^3. A transformação é dada por T(a + bx + cx^2) = (a + b, 2b + c, a - c). Vamos precisar entender como representar uma transformação linear em matrizes usando bases específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz [T]beta^alpha, precisamos aplicar a transformação T aos vetores da base alpha e expressar os resultados na base beta. A base alpha é 1 + x^2, 1, 1 + x + x^2 e a base beta é (1,-1,1), (0,1,1), (0,0,1).

Passo 3

Vamos aplicar T a cada vetor da base alpha.
  1. Para o vetor 1 + x^2:
    • Coeficientes: a = 1, b = 0, c = 1.
    • T(1 + x^2) = (1 + 0, 2*0 + 1, 1 - 1) = (1,1,0).
  2. Para o vetor 1:
    • Coeficientes: a = 1, b = 0, c = 0.
    • T(1) = (1 + 0, 2*0 + 0, 1 - 0) = (1,0,1).
  3. Para o vetor 1 + x + x^2:
    • Coeficientes: a = 1, b = 1, c = 1.
    • T(1 + x + x^2) = (1 + 1, 2*1 + 1, 1 - 1) = (2,3,0).

Passo 4

Agora, precisamos expressar cada um desses resultados na base beta. Ou seja, vamos encontrar coordenadas na base beta para os vetores (1,1,0), (1,0,1) e (2,3,0).
Vamos chamar as coordenadas de (c1, c2, c3) para cada vetor, de modo que:
c1(1,-1,1) + c2(0,1,1) + c3(0,0,1) = vetor resu
Vamos resolver isso para cada vetor.
  1. Para (1,1,0):
    c1 = 1 -c1 + c2 = 1 c1 + c2 + c3 = 0
    Da primeira equação, c1 = 1.
    Substituindo na segunda: -1 + c2 = 1 c2 = 2.
    Substituindo na terceira: 1 + 2 + c3 = 0 c3 = -3.
  2. Para (1,0,1):
    c1 = 1 -c1 + c2 = 0 c1 + c2 + c3 = 1
    Da primeira equação, c1 = 1.
    Substituindo na segunda: -1 + c2 = 0 c2 = 1.
    Substituindo na terceira: 1 + 1 + c3 = 1 c3 = -1.
  3. Para (2,3,0):
    c1 = 2 -c1 + c2 = 3 c1 + c2 + c3 = 0
    Da primeira equação, c1 = 2.
    Substituindo na segunda: -2 + c2 = 3 c2 = 5.
    Substituindo na terceira: 2 + 5 + c3 = 0 c3 = -7.

Passo 5

Agora que temos as coordenadas de cada imagem na base beta, podemos montar a matriz [T]beta^alpha. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados.
  • Primeira coluna: (1,2,-3)
  • Segunda coluna: (1,1,-1)
  • Terceira coluna: (2,5,-7)

Resposta

A matriz [T]beta^alpha é dada por:
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 2 2 & 1 & 5 -3 & -1 & -7

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