Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a matriz de uma transformação linear nas bases de e de . A transformação é dada por . Vamos precisar entender como representar uma transformação linear em matrizes usando bases específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz , precisamos aplicar a transformação aos vetores da base e expressar os resultados na base . A base é e a base é .
Passo 3
Vamos aplicar a cada vetor da base .
Para o vetor :
Coeficientes: , , .
.
Para o vetor :
Coeficientes: , , .
.
Para o vetor :
Coeficientes: , , .
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar cada um desses resultados na base . Ou seja, vamos encontrar coordenadas na base para os vetores , e .
Vamos chamar as coordenadas de para cada vetor, de modo que:
Vamos resolver isso para cada vetor.
Para :
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda: → .
Substituindo na terceira: → .
Para :
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda: → .
Substituindo na terceira: → .
Para :
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda: → .
Substituindo na terceira: → .
Passo 5
Agora que temos as coordenadas de cada imagem na base , podemos montar a matriz . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados.