Determine o momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
, de equação
, com
, em torno do eixo
.
e
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o momento de inércia e o centro de massa de uma superfície homogênea com massa
, definida pela equação
para
e
. Vamos usar conceitos de física de momento de inércia e centro de massa, além de cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. No nosso caso, queremos o momento de inércia em torno do eixo
.
Como a superfície é homogênea, a densidade superficial
é constante. O momento de inércia
em torno do eixo
é dado por:
Onde
é o elemento de área na superfície.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas, já que a equação
sugere simetria circular. Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de área
em coordenadas cilíndricas é:
Então, substituindo na expressão do momento de inércia:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Substituindo de volta:
Agora, sabemos que a massa
da superfície é:
A área da superfície é a lateral de um cilindro com altura 1:
Então:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o centro de massa. Pela simetria do problema, sabemos que
e
. Precisamos encontrar apenas
.
A coordenada
é dada por:
Usando as mesmas coordenadas cilíndricas:
Substituindo
:
Resposta
O momento de inércia em torno do eixo
é
, e o centro de massa da superfície está localizado em
.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas.
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(d) A região limitada pela elipse , onde
.
(d) A região limitada pela elipse
Determine uma parametrização das seguintes superfícies: Do parabolóide
.
Determine se a sequência
definida por
é crescente, decrescente ou não monotônica.