Determine o momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação , com , em torno do eixo . e onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o momento de inércia e o centro de massa de uma superfície homogênea com massa , definida pela equação para e . Vamos usar conceitos de física de momento de inércia e centro de massa, além de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. No nosso caso, queremos o momento de inércia em torno do eixo .
Como a superfície é homogênea, a densidade superficial é constante. O momento de inércia em torno do eixo é dado por:
Onde é o elemento de área na superfície.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas, já que a equação sugere simetria circular. Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é:
Então, substituindo na expressão do momento de inércia:

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Substituindo de volta:
Agora, sabemos que a massa da superfície é:
Á
A área da superfície é a lateral de um cilindro com altura 1:
Á
Então:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o centro de massa. Pela simetria do problema, sabemos que e . Precisamos encontrar apenas .
A coordenada é dada por:
Usando as mesmas coordenadas cilíndricas:
Substituindo :

Resposta

O momento de inércia em torno do eixo é , e o centro de massa da superfície está localizado em .

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