Determine uma parametrização das seguintes superfícies: Do parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização para o parabolóide definido pela equação . Isso está relacionado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parametrização de superfícies. Para fazer isso, vamos precisar expressar as coordenadas , e em termos de parâmetros, geralmente denotados por e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma forma de descrever uma superfície usando dois parâmetros livres. No caso do parabolóide , podemos escolher e como nossos parâmetros. Assim, definimos e .

Passo 3

Com e , podemos expressar em termos desses parâmetros. Substituindo na equação do parabolóide, temos:
Então, nossa parametrização fica em termos de e .

Passo 4

Agora, juntando tudo, a parametrização da superfície é dada por:
Aqui, e podem variar livremente em todo o plano, cobrindo toda a superfície do parabolóide.

Resposta

Uma parametrização para o parabolóide é:
onde e são parâmetros reais.

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Prove que .