Determine uma parametrização das seguintes superfícies: Do parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização para o parabolóide definido pela equação . Isso está relacionado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parametrização de superfícies. Para fazer isso, vamos precisar expressar as coordenadas , e em termos de parâmetros, geralmente denotados por e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma forma de descrever uma superfície usando dois parâmetros livres. No caso do parabolóide , podemos escolher e como nossos parâmetros. Assim, definimos e .
Passo 3
Com e , podemos expressar em termos desses parâmetros. Substituindo na equação do parabolóide, temos:
Então, nossa parametrização fica em termos de e .
Passo 4
Agora, juntando tudo, a parametrização da superfície é dada por:
Aqui, e podem variar livremente em todo o plano, cobrindo toda a superfície do parabolóide.