Determine os momentos de inércia Ix^prime e Iy^prime e o produto de inércia Ix^prime y para a área retangular. Os eixos x^prime e y^prime passam pelo centroide C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar os momentos de inércia $ I_{x’} $ e $ I_{y’} $, além do produto de inércia $ I_{x’ y} $ para uma área retangular. Os eixos $ x’ $ e $ y’ $ passam pelo centroide $ C $ da figura. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são momentos de inércia e produtos de inércia, bem como usar as fórmulas específicas para uma área retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são momentos de inércia. Eles são medidas de como a área está distribuída em relação a um eixo, e são muito importantes em engenharia para analisar a resistência de estruturas. Para uma área retangular, os momentos de inércia em torno dos eixos que passam pelo centroide são dados por:
Ix' = b h^312
Iy' = h b^312
Aqui, $ b $ é a largura da base e $ h $ é a altura do retângulo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto de inércia $ I_{x’ y} $. O produto de inércia mede a distribuição da área em relação a ambos os eixos simultaneamente. Para figuras simétricas, como um retângulo com eixos passando pelo centroide, o produto de inércia é zero. Isso acontece porque a distribuição da área é balanceada em relação aos eixos, cancelando qualquer valor que não zero.

Passo 4

Vamos então aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Supondo que temos um retângulo com largura $ b $ e altura $ h $:
b
h
Ix' = b h^312
Esses são os valores dos momentos de inércia e do produto de inércia para o retângulo em relação aos eixos que passam pelo centroide.

Resposta

Os momentos de inércia são $ I_{x’} = \frac{b h^3}{12} $ e $ I_{y’} = \frac{h b^3}{12} $, e o produto de inércia é $ I_{x’ y} = 0 $.

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