Determine os momentos de inércia
e
e o produto de inércia
para a área retangular. Os eixos
e
passam pelo centroide
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar os momentos de inércia $ I_{x’} $ e $ I_{y’} $, além do produto de inércia $ I_{x’ y} $ para uma área retangular. Os eixos $ x’ $ e $ y’ $ passam pelo centroide $ C $ da figura. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são momentos de inércia e produtos de inércia, bem como usar as fórmulas específicas para uma área retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são momentos de inércia. Eles são medidas de como a área está distribuída em relação a um eixo, e são muito importantes em engenharia para analisar a resistência de estruturas. Para uma área retangular, os momentos de inércia em torno dos eixos que passam pelo centroide são dados por:
Aqui, $ b $ é a largura da base e $ h $ é a altura do retângulo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto de inércia $ I_{x’ y} $. O produto de inércia mede a distribuição da área em relação a ambos os eixos simultaneamente. Para figuras simétricas, como um retângulo com eixos passando pelo centroide, o produto de inércia é zero. Isso acontece porque a distribuição da área é balanceada em relação aos eixos, cancelando qualquer valor que não zero.
Passo 4
Vamos então aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Supondo que temos um retângulo com largura $ b $ e altura $ h $:
Esses são os valores dos momentos de inércia e do produto de inércia para o retângulo em relação aos eixos que passam pelo centroide.
Resposta
Os momentos de inércia são $ I_{x’} = \frac{b h^3}{12} $ e $ I_{y’} = \frac{h b^3}{12} $, e o produto de inércia é $ I_{x’ y} = 0 $.