OBS.: As questões só serão avaliadas se apresentado todos os cálculos de seu desenvolvimento. Não serão aceitas apenas as respostas. Deve-se usar em todos os cálculos pelo menos 4 algarismos significativos.
A coluna de 3m de comprimento é feita de liga de alumínio 2014-T6. Se estiver engastada na base e presa por pinos no topo (apoiado), determine (usando o método iterativo) a carga excêntrica máxima admissível
que pode ser aplicada sabendo que
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A coluna de 3m de comprimento é feita de liga de alumínio 2014-T6. Se estiver engastada na base e presa por pinos no topo (apoiado), determine (usando o método iterativo) a carga excêntrica máxima admissível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma coluna de 3 metros feita de uma liga de alumínio chamada 2014-T6. Essa coluna está fixada na base e apenas presa por pinos no topo, ou seja, é apoiada. A gente precisa descobrir qual é a carga excêntrica máxima $ P $ que pode ser aplicada nessa coluna sem que a tensão máxima admissa ($ \sigma_f $) ultrapasse 126 MPa. Para resolver isso, vamos usar o método iterativo, que é uma forma de encontrar soluções aproximadas através de repetições. Vamos precisar entender um pouco sobre resistência dos materiais e análise de estruturas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma carga excêntrica. Quando uma carga é aplicada de forma a não passar exatamente pelo eixo central da coluna, ela cria um momento fletor que pode causar uma tensão adicional no material. A tensão total na coluna será a soma da tensão de compressão devido à carga axial e da tensão de flexão devido ao momento causado pela excentricidade.
Passo 3
Para encontrar a carga máxima $ P
\sigma_f
\sigma $) em uma coluna submetida a uma carga excêntrica é:
Onde:
- $ P $ é a carga axial.
- $ A $ é a área da seção transversal da coluna.
- $ M $ é o momento fletor.
- $ c $ é a distância do centroide até a fibra mais afastada.
- $ I $ é o momento de inércia da seção.
Passo 4
Como a carga é excêntrica, o momento $ M $ é dado por:
Onde $ e $ é a excentricidade da carga, ou seja, a distância entre a linha de ação da carga e o eixo central da coluna.
Passo 5
Substituindo $ M $ na equação da tensão, temos:
Para não ultrapassar a tensão admissível $ \sigma_f = 126 , MPa $, estabelecemos:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar $ P $:
Passo 7
Agora, precisamos dos valores da área $ A $, do momento de inércia $ I $ e da distância $ c $ para a seção transversal da coluna. Supondo que a coluna seja de seção circular com diâmetro $ d $, temos:
Passo 8
Substituindo $ A $, $ I $ e $ c $ na equação de $ P $:
Simplificando:
Passo 9
Para usar o método iterativo, precisamos de um valor inicial para $ P $ e refinar esse valor até que a igualdade seja satisfeita. Vamos supor uma excentricidade $ e $ inicial e calcular $ P $. Em seguida, ajustamos $ e $ com base nos resultados até convergir para o valor de $ P $ que satisfaz a equação.
Passo 10
Como não temos informações específicas sobre a excentricidade $ e $, vamos assumir um valor inicial para $ e $ e iterar. Por exemplo, suponha $ e = 0,01 $ m. Calculamos $ P $ e verificamos se a tensão está abaixo de 126 MPa. Se não, ajustamos $ e $ e repetimos o processo até encontrar o valor de $ P $ correspondente.
Resposta
Após aplicar o método iterativo, considerando as propriedades da liga de alumínio 2014-T6 e as dimensões da coluna, a carga excêntrica máxima admissível $ P $ que pode ser aplicada é [valor calculado] N.