OBS.: As questões só serão avaliadas se apresentado todos os cálculos de seu desenvolvimento. Não serão aceitas apenas as respostas. Deve-se usar em todos os cálculos pelo menos 4 algarismos significativos.
Determine , utilizando o teorema de Castigliano, deslocamento vertical do ponto C da viga feita de aço cujo momento de inércia I=20^star 10^6 mm^4 e o Módulo de Elasticidade E=210GPa (desconsiderar a parcela da energia de deformação estocada devido ao cisalhamento), Adotar L=3m e w=6kN/m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o deslocamento vertical no ponto C de uma viga de aço usando o Teorema de Castigliano. Para isso, vamos precisar dos seguintes dados:
  • Momento de Inércia, $ \mathrm{I} = 20 \times 10^{6} , \mathrm{mm}^{4} $
  • Módulo de Elasticidade, $ E = 210 , \mathrm{GPa} $ (que é igual a $ 210 \times 10^{3} , \mathrm{MPa} $)
  • Comprimento da viga, $ L = 3 , \mathrm{m} $
  • Carga distribuída, $ w = 6 , \mathrm{kN/m} $
Vamos utilizar o Teorema de Castigliano, que nos ajuda a encontrar deslocamentos em estruturas elásticas. Basicamente, esse teorema relaciona a energia de deformação com as derivadas da energia em relação às cargas aplicadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a configuração da viga e onde está o ponto C. Vou supor que a viga é simplesmente apoiada nas extremidades e que o ponto C está no meio dela. Assim, a carga distribuída $ w $ está agindo ao longo de toda a viga.

Passo 3

O Teorema de Castigliano nos diz que o deslocamento $ \delta $ no ponto onde a carga é aplicada pode ser encontrado pela derivada da energia de deformação $ U $ em relação à força aplicada $ F $:
de
No nosso caso, como temos uma carga distribuída, vamos integrar essa relação ao longo de toda a viga.

Passo 4

A energia de deformação $ U $ para uma viga sujeita a flexão é dada por:
U
Onde $ M(x) $ é o momento fletor em uma posição $ x $ da viga.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o momento fletor $ M(x) $. Para uma viga simplesmente apoiada com carga distribuída $ w $:
M(x)

Passo 6

Agora, substituímos $ M(x) $ na expressão da energia de deformação:
M(x)
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
U = integral0^L ( wLx2 - wx^22 )^22EI , dx
Então,
M(x) = wLx2 - wx^22 = wx2(L - x)
Substituindo de volta na energia de deformação:
M(x)^2 = ( wx2(L - x) )^2 = w^2x^2(L - x)^24

Passo 7

Para encontrar o deslocamento no ponto C, que é o meio da viga ($ x = \frac{L}{2} $), aplicamos o Teorema de Castigliano. Neste caso, a força equivalente $ F $ é a carga resultante na posição C.
Como a carga é distribuída, a força equivalente é $ F = \frac{wL}{2} $.
Então,
x = L2

Passo 8

Vamos substituir todos os valores conhecidos na expressão da energia de deformação e calcular a integral:
Primeiro, convertemos as unidades para ficar tudo em metros e Pascals:
  • $ I = 20 \times 10^{6} , \mathrm{mm}^{4} = 20 \times 10^{6} \times 10^{-12} , \mathrm{m}^{4} = 20 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^{4} $
  • $ E = 210 , \mathrm{GPa} = 210 \times 10^{9} , \mathrm{Pa} $
  • $ L = 3 , \mathrm{m} $
  • $ w = 6 , \mathrm{kN/m} = 6000 , \mathrm{N/m} $

Passo 9

Vamos calcular a integral:
U = integral0^3 (6000)^2 x^2 (3 - x)^28 times 210 times 10^9 times 20 times 10^-6 , dx
Simplificando os constantes:
U = 36 times 10^68 times 210 times 10^9 times 20 times 10^-6 integral0^3 x^2 (3 - x)^2 , dx
Calculando o coeficiente:
36 times 10^68 times 210 times 10^9 times 20 times 10^-6 = 36 times 10^633.6 times 10^3 = 1.0714 times 10^3 , J
Agora, calculamos a integral:
integral0^3 x^2 (3 - x)^2 , dx = integral0^3 (9x^2 - 6x^3 + x^4) , dx = [ 3x^3 - 32x^4 + 15x^5 ]0^3
Calculando em $ x = 3 $:
x = 3
Então,
3(27) - 32(81) + 15(243) = 81 - 121.5 + 48.6 = 8.1 , m^5

Passo 10

Agora, aplicamos o Teorema de Castigliano para encontrar o deslocamento $ \delta $:
de
Convertendo para metros:
de

Resposta

O deslocamento vertical no ponto C da viga é de aproximadamente 2.886 mm.

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