Determine as mudanças de coordenadas consecutivas necessárias para encontrar a forma canônica da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de segunda grau que representa uma cônica:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo das cônicas e as mudanças de coordenadas para transformar essa equação na sua forma canônica. Para fazer isso, vamos precisar usar rotações de eixos e translações. Esses dois passos vão ajudar a simplificar a equação, eliminando termos como o
e ajustando o centro da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Olhando para os coeficientes de
,
e
, usamos o discriminante
. Aqui,
,
, e
.
Calculando:
Como
e
e
, isso indica que estamos lidando com uma círculo com termos de rotação.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o termo
que está atrapalhando nossa equação. Para isso, fazemos uma rotação dos eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um ângulo
tal que o novo termo
seja eliminado.
A fórmula para encontrar o ângulo
é:
Substituindo os valores:
Isso significa que
, então
(ou 45 graus).
Passo 4
Com o ângulo
, usamos as fórmulas de rotação para trocar as coordenadas:
Como
, substituímos na equação original:
Isso vai simplificar a equação eliminando o termo
.
Passo 5
Após expandir e simplificar, a equação fica sem o termo cruzado
. Agora, vamos identificar o centro da cônica realizando uma translação das coordenadas para remover os termos lineares.
A equação simplificada deve ter a forma:
Para eliminar os termos
e
, definimos:
E escolhemos
e
de forma que os coeficientes lineares desapareçam.
Passo 6
Resolvendo as equações para
e
:
Substituindo
e
pelos novos coeficientes da equação após a rotação, encontramos os valores de
e
. Isso nos dá a posição do centro da cônica no novo sistema de coordenadas.
Passo 7
Com
e
encontrados, substituímos de volta na equação para obter:
Onde
.
Finalmente, a equação está na forma canônica, que facilita a identificação das propriedades da cônica, como centro, eixos principais.
Resposta
Após realizar a rotação de 45 graus e a translação adequada, a forma canônica da cônica é obtida. A equação final na forma canônica é:
Onde
,
e
são coeficientes resultantes após as mudanças de coordenadas.
Exercícios relacionados
Resolva em
, as equações:
.
Indique a lei de
para cada uma das transformações lineares:
Plote o gráfico das seguintes funções:
Dados os complexos
e
; calcule:
.