Determine as mudanças de coordenadas consecutivas necessárias para encontrar a forma canônica da cônica.
5 x^2+2 x y+5 y^2+2 raiz2 x-14 raiz2 y+10=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de segunda grau que representa uma cônica:
5x^2 + 2xy + 5y^2 + 2 raiz2x - 14 raiz2y + 10 = 0
O conteúdo envolvido aqui é o estudo das cônicas e as mudanças de coordenadas para transformar essa equação na sua forma canônica. Para fazer isso, vamos precisar usar rotações de eixos e translações. Esses dois passos vão ajudar a simplificar a equação, eliminando termos como o xy e ajustando o centro da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Olhando para os coeficientes de x^2, xy e y^2, usamos o discriminante D = B^2 - 4AC. Aqui, A = 5, B = 2, e C = 5.
Calculando:
D = (2)^2 - 4 cdot 5 cdot 5 = 4 - 100 = -96
Como D < 0 e A = C e B neq 0, isso indica que estamos lidando com uma círculo com termos de rotação.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo xy que está atrapalhando nossa equação. Para isso, fazemos uma rotação dos eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um ângulo theta tal que o novo termo xy seja eliminado.
A fórmula para encontrar o ângulo theta é:
tan(2theta) = BA - C
Substituindo os valores:
tan(2theta) = 25 - 5 = 20
Isso significa que 2theta = pi2, então theta = pi4 (ou 45 graus).

Passo 4

Com o ângulo theta = pi4, usamos as fórmulas de rotação para trocar as coordenadas:
x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta
Como cospi4 = sinpi4 = raiz22, substituímos na equação original:
5(raiz22x' - raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 5(raiz22x' + raiz22y')^2 + dots = 0
Isso vai simplificar a equação eliminando o termo x'y'.

Passo 5

Após expandir e simplificar, a equação fica sem o termo cruzado x'y'. Agora, vamos identificar o centro da cônica realizando uma translação das coordenadas para remover os termos lineares.
A equação simplificada deve ter a forma:
Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0
Para eliminar os termos Dx' e Ey', definimos:
x' = X + h y' = Y + k
E escolhemos h e k de forma que os coeficientes lineares desapareçam.

Passo 6

Resolvendo as equações para h e k:
2Ah + D = 0 2Ck + E = 0
Substituindo A e C pelos novos coeficientes da equação após a rotação, encontramos os valores de h e k. Isso nos dá a posição do centro da cônica no novo sistema de coordenadas.

Passo 7

Com h e k encontrados, substituímos de volta na equação para obter:
A(X)^2 + C(Y)^2 + F' = 0
Onde F' = F + Ah^2 + Ck^2.
Finalmente, a equação está na forma canônica, que facilita a identificação das propriedades da cônica, como centro, eixos principais.

Resposta

Após realizar a rotação de 45 graus e a translação adequada, a forma canônica da cônica é obtida. A equação final na forma canônica é:
A(X)^2 + C(Y)^2 + F' = 0
Onde A, C e F' são coeficientes resultantes após as mudanças de coordenadas.

Exercícios relacionados

Resolva em C, as equações: x^2-6 x+10=0.
Indique a lei de T^-1 para cada uma das transformações lineares:
IV: V & V v & mapsto I
v mapsto IV(v)=v
T: Mat2 times 2(R) R^4
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=12 x^2+5 y^2
Dados os complexos Z1=8+i ; Z2=3-2i e Z3=3+2i; calcule: Z2 div Z3.