Indique a lei de
para cada uma das transformações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a lei de
para cada uma das transformações lineares dadas. Isso envolve trabalhar com transformações lineares e suas inversas. Vamos precisar lembrar de como identificar uma transformação linear inversa e verificar se ela realmente existe para as transformações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a transformação
definida por
. Essa é a transformação identidade, ou seja, cada vetor
no espaço
é mapeado para ele mesmo. A transformação identidade é super importante porque ela basicamente “não muda” nada.
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de
, ou seja,
, precisamos descobrir uma transformação que, quando composta com
, nos devolva o vetor original. No caso da identidade, isso é bem simples: se você aplicar a transformação identidade e depois sua inversa, você ainda vai ter o vetor original.
Passo 4
Na verdade, a transformação identidade é especial porque ela é igual à sua própria inversa. Isso significa que
. Assim, a lei de
para
é a própria transformação identidade.
Passo 5
Agora vamos para a segunda transformação:
. Essa transformação pega uma matriz
com números reais e a mapeia para um vetor de 4 dimensões. Geralmente, essa transformação “desempacota” os elementos da matriz em um vetor.
Passo 6
Para encontrar a inversa de
,
, precisamos definir uma transformação que pega um vetor de 4 dimensões e o transforma de volta em uma matriz
. Basicamente, se
transforma uma matriz em um vetor, então
vai fazer o caminho inverso.
Passo 7
Então, a lei de
seria pegar um vetor
em
e transformá-lo de volta em uma matriz
. Assim, cada componente do vetor corresponde a uma posição específica na matriz.
Resposta
A lei de
para cada transformação linear é:
-
Para
: -
Para
:
Exercícios relacionados
Plote o gráfico das seguintes funções:
Um raio luminoso partindo do foco da parábola
, faz um ângulo agudo
com o eixo
. Sabe-se que
. Ao atingir a parábola, o raio é refletido por ela. Formar a equação da reta que dá a trajetória do raio refletido.
Resolva em
, as equações:
.
Determine as mudanças de coordenadas consecutivas necessárias para encontrar a forma canônica da cônica.