Obtenha as matrizes de mudança: ME F, MF E, MG F, MF G, ME G e calcula coordenadas de vetor v=(1,0,-1)E em bases F e G.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três bases vetoriais e no espaço tridimensional. O exercício pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre essas bases e, depois, descobrir as coordenadas de um vetor nas bases e . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de e1 = f1 - 2f2 e2 = f1 + f3 e3 = f2 - f3 para MEF = 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 , chamada . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base em termos da base .
Dado o sistema:
Podemos escrever a matriz colocando os coeficientes das combinações lineares:
Passo 3
Agora, para encontrar MEF^-1 = 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ^-1 = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , que é a matriz de mudança de MFE = MEF^-1 = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 para , precisamos calcular a inversa de . Vamos calcular o inverso dessa matriz:
Portanto,
Passo 4
Vamos agora encontrar a matriz de mudança de base de f1 = g1 + 2g2 f2 = g1 - g3 f3 = g2 - g3 para MGF = 1 & 2 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 , . Olhando para o segundo sistema:
A matriz será:
Passo 5
Para encontrar MGF^-1 = 1 & 2 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 ^-1 = 0 & 12 & 12 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 , que é a matriz de mudança de MFG = MGF^-1 = 0 & 12 & 12 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 para , calculamos a inversa de :