Sejam E=(e1, e2, e3), F=(f1, f2, f3) e G= (g1, g2, g3)
l vec e 1 = vec f 1 - 2 vec f 2 vec e 2 = vec f 1 + vec f 3 vec e 3 = vec f 2 - vec f 3 l f1=g1+2 g2 f2=g1-g3 f3=g2-g3
Obtenha as matrizes de mudança: ME F, MF E, MG F, MF G, ME G e calcula coordenadas de vetor v= (1,0,-1)E em bases F e G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três bases vetoriais e no espaço tridimensional. O exercício pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre essas bases e, depois, descobrir as coordenadas de um vetor nas bases e . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de e1 = f1 - 2f2 e2 = f1 + f3 e3 = f2 - f3 para MEF = 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 , chamada . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base em termos da base .
Dado o sistema:
Podemos escrever a matriz colocando os coeficientes das combinações lineares:

Passo 3

Agora, para encontrar MEF^-1 = 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ^-1 = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , que é a matriz de mudança de MFE = MEF^-1 = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 para , precisamos calcular a inversa de . Vamos calcular o inverso dessa matriz:
Portanto,

Passo 4

Vamos agora encontrar a matriz de mudança de base de f1 = g1 + 2g2 f2 = g1 - g3 f3 = g2 - g3 para MGF = 1 & 2 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 , . Olhando para o segundo sistema:
A matriz será:

Passo 5

Para encontrar MGF^-1 = 1 & 2 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 ^-1 = 0 & 12 & 12 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 , que é a matriz de mudança de MFG = MGF^-1 = 0 & 12 & 12 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 para , calculamos a inversa de :
Assim,

Passo 6

Agora, precisamos encontrar MEG = MFG cdot MEF = 0 & 12 & 12 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 cdot 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 = 0 cdot 1 + 12 cdot 1 + 12 cdot 0 & 0 cdot (-2) + 12 cdot 0 + 12 cdot 1 & 0 cdot 0 + 12 cdot 1 + 12 cdot (-1) 1 cdot 1 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot (-2) + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 1 cdot (-1) 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot (-2) + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 & 1 cdot 0 + 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) , a matriz de mudança de MEG = 12 & 12 & 0 1 & -1 & -1 2 & -1 & 0 para . Podemos fazer isso multiplicando e :
Calculando cada elemento:

Passo 7

Agora que temos todas as matrizes de mudança de base, vamos calcular as coordenadas do vetor a b c F = MEF^-1 cdot 1 0 -1 = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 cdot 1 0 -1 = 1 cdot 1 + 2 cdot 0 + 2 cdot (-1) 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot (-1) 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot (-1) = -1 0 1 F nas bases e .
Primeiro, para a base :
Então, .

Passo 8

Agora, para a base x y z G = MEG^-1 cdot 1 0 -1 , usamos a matriz 12 & 12 & 0 1 & -1 & -1 2 & -1 & 0 :
MEG^-1 = 1 & 1 & 0 12 & 12 & -1 1 & 0 & -2
Primeiro, precisamos calcular x y z G = 1 & 1 & 0 12 & 12 & -1 1 & 0 & -2 cdot 1 0 -1 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot (-1) 12 cdot 1 + 12 cdot 0 + (-1) cdot (-1) 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-2) cdot (-1) = 1 1.5 3 G . Calculando a inversa da matriz , encontramos:
Multiplicando:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
MEF = 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 , MFE = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0
MGF = 1 & 2 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 , MFG = 0 & 12 & 12 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1
MEG = 12 & 12 & 0 1 & -1 & -1 2 & -1 & 0
As coordenadas do vetor v = (-1, 0, 1)F em F são:
v = (1, 1.5, 3)G em G

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