Seja é base e ). Prove que é base e calcule coordenadas de vetor na base novo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre mostrar que um conjunto de vetores forma uma base e, depois, encontrar as coordenadas de um vetor nessa nova base . Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente de bases e mudança de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores de são linearmente independentes e depois resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas de na nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que é realmente uma base. Para isso, precisamos verificar se os vetores que formam são linearmente independentes. Se forem, então é uma base.
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores de escritos na base :
Precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes.
Como o determinante é , que é diferente de zero, isso significa que os vetores de são linearmente independentes. Portanto, é uma base de .
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor u = a e1' + b e2' + c e3' na nova base e1' = e1 + 2e2 + e3 . Ou seja, queremos achar os escalares e2' = e1 - e2 + e3 tais que:
Agrupando os coeficientes de (a + b)e1 + (2a - b + c)e2 + (a + b + c)e3 = e1 - e2 + e3 e a + b = 1 2a - b + c = -1 a + b + c = 1 :
Isso nos dá o sistema:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos 2a - (1 - a) + c = -1 Rightarrow 2a -1 + a + c = -1 Rightarrow 3a + c = 0 Rightarrow c = -3a . Substituindo isso na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
a + (1 - a) + c = 1 Rightarrow 1 + c = 1 Rightarrow c = 0