Seja E=(e1, e2, e3) é base e E^prime=(e1^prime=e1+2 e2+ e3, e2^prime=e1-e2+e3, e3^prime=e2+e3 ). Prove que E^prime é base e calcule coordenadas de vetor u=(1,-1,1)E na base novo E^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre mostrar que um conjunto de vetores forma uma base e, depois, encontrar as coordenadas de um vetor nessa nova base . Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente de bases e mudança de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores de são linearmente independentes e depois resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas de na nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que é realmente uma base. Para isso, precisamos verificar se os vetores que formam são linearmente independentes. Se forem, então é uma base.

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores de 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 1 & 1 & 1 escritos na base :
Precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Calculando o determinante:
det = 1 cdot -1 & 1 1 & 1 - 1 cdot 2 & 1 1 & 1 + 0 cdot 2 & -1 1 & 1
Primeiro, calculemos os menores:
-1 & 1 1 & 1 = (-1)(1) - (1)(1) = -1 -1 = -2
2 & 1 1 & 1 = (2)(1) - (1)(1) = 2 -1 = 1
Agora, substituindo:
det = 1 cdot (-2) - 1 cdot (1) + 0 = -2 -1 + 0 = -3

Passo 5

Como o determinante é , que é diferente de zero, isso significa que os vetores de são linearmente independentes. Portanto, é uma base de .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor u = a e1' + b e2' + c e3' na nova base e1' = e1 + 2e2 + e3 . Ou seja, queremos achar os escalares e2' = e1 - e2 + e3 tais que:
e3' = e2 + e3
Sabendo que:
Vamos montar o sistema de equações.

Passo 7

Escrevendo a combinação linear:
a(e1 + 2e2 + e3) + b(e1 - e2 + e3) + c(e2 + e3) = u = e1 - e2 + e3
Agrupando os coeficientes de (a + b)e1 + (2a - b + c)e2 + (a + b + c)e3 = e1 - e2 + e3 e a + b = 1 2a - b + c = -1 a + b + c = 1 :
Isso nos dá o sistema:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos 2a - (1 - a) + c = -1 Rightarrow 2a -1 + a + c = -1 Rightarrow 3a + c = 0 Rightarrow c = -3a . Substituindo isso na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
a + (1 - a) + c = 1 Rightarrow 1 + c = 1 Rightarrow c = 0
Terceira equação:
-3a = 0 Rightarrow a = 0
Mas da equação anterior, , então:
Então, e .

Resposta

As coordenadas de na base são .

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