Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função escalar
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função escalar
cuja derivada gradiente é igual ao campo vetorial. Em outras palavras,
é conservativo se
. Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é conferir se as derivadas parciais cruzadas são iguais: isto é, se
, onde
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo vetorial dado:
e
.
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, isso confirma que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função escalar
tal que
. Sabemos que:
Integrando em relação a
, obtemos:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Então,
Integrando
em relação a
:
Resposta
A função que satisfaz
é: