Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f onde F(x, y) = (6x + 5y) i + (5x + 4y) j . R: f(x, y) = 3x^2 + 5xy + 2y^2 + k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se o campo vetorial F é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função escalar f tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função escalar f cuja derivada gradiente é igual ao campo vetorial. Em outras palavras, F é conservativo se . Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é conferir se as derivadas parciais cruzadas são iguais: isto é, se , onde .

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo vetorial dado: e .
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , isso confirma que o campo vetorial F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função escalar f tal que . Sabemos que:
Integrando em relação a x, obtemos:
Aqui, é uma função arbitrária de y.
Agora, derivamos f em relação a y e igualamos a N:
Igualando:
Então,
Integrando em relação a y:
, onde k é uma constante.

Resposta

A função que satisfaz é:

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