Usando as propriedades adequadas, faça a expansão das expressões a seguir de forma a reduzi-las a produtos e somas de expressões elementares (que não podem mais ser simplificadas). log4(6^10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a expressão log4(6^10), ou seja, transformar essa expressão de logaritmo em uma combinação de produtos e somas que não dá mais para simplificar. Para isso, vamos usar as propriedades dos logaritmos, que são ferramentas matemáticas muito úteis para manipular expressões logarítmicas. Vamos precisar saber das propriedades de potência e mudança de base dos logaritmos para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um logaritmo de uma potência, como , podemos usar a propriedade que diz que o logaritmo de uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base. Matematicamente, isso é escrito como:
Aplicando essa propriedade à nossa expressão log4(6^10), temos:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar . Para isso, vamos usar a mudança de base dos logaritmos, que nos permite converter um logaritmo de uma base para outra. A fórmula da mudança de base é:
onde k pode ser qualquer base, mas geralmente usamos a base 10 ou a base e (logaritmo natural) para facilitar os cálculos.
Vamos escolher a base 2 para simplificar, já que 4 é uma potência de 2. Sabemos que , então:
Sabemos que , porque . Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir de volta na expressão original:
Simplificando, dividimos 10 por 2:

Passo 5

Finalmente, chegamos a uma expressão mais simples: . Não dá pra simplificar mais do que isso sem calcular o valor numérico do logaritmo, que não é necessário aqui. Então nossa expressão está reduzida a um produto de termos elementares.

Resposta

A expansão da expressão log4(6^10) é .

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