Determine o núcleo e a imagem de cada transformação linear abaixo.
a) em que .
b) em que .
c) em que .
d) em que .
Passo 1
Aqui, a gente tem um exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem de quatro transformações lineares diferentes. O conteúdo envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo (ou kernel) e imagem (ou image). Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o núcleo resolvendo uma equação homogênea e como identificar a imagem através da combinação linear dos vetores resultantes pela transformação.
Passo 2
Vamos começar com a letra a): definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste em todos os vetores em que são transformados em . Ou seja, queremos resolver:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 4:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Isso indica que as duas equações são equivalentes, então temos uma única equação:
Isso descreve uma reta no plano, então o núcleo é o conjunto de todos os vetores .
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos pela transformação T a partir de algum vetor em .
Usando a definição de T:
Podemos escrever isso em termos de combinação linear das imagens das bases canônicas:
Então, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores e .
Notamos que é igual a , ou seja, os vetores são linearmente dependentes.
Portanto, a imagem de T é uma reta no plano, gerada por .
Passo 5
Vamos para a letra b): definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste em resolver o sistema:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos usar o método de eliminação. Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
Agora, temos o sistema:
Podemos multiplicar a equação (4) por 3:
Subtraindo a equação (5) da equação (3):
Substituindo na equação (4):
E substituindo e na equação (2):
Então, as soluções estão em termos de , que é livre. Sendo , temos:
Portanto, o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma , onde .
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o espaço gerado pelos vetores , , , , onde são os vetores da base canônica de .
Calculando:
Agora, queremos ver o espaço gerado por esses quatro vetores em . Vamos verificar se são linearmente independentes.
Observando que o sistema tem 3 componentes, no máximo a imagem pode ter dimensão 3, mas no caso das transformações lineares de para , a imagem tem no máximo dimensão 3.
Para simplificar, vamos verificar se esses vetores geram o espaço inteiro ou um subespaço menor:
Note que:
Não parece diretamente relacionado, mas vamos deixar a imagem como o espaço gerado por esses vetores, que neste caso, a imagem de T é .
Mas pelo núcleo encontrado anteriormente, que tem dimensão 1, e pela relação entre dimensão e imagem (dim(kernel) + dim(imagem) = dim(domínio)), temos dim(imagem) = 4 - 1 = 3. Portanto, a imagem é todo .
Passo 8
Agora, vamos para a letra c): definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste nos vetores que satisfaçam:
Passo 9
Resolvendo:
Da segunda equação, .
Da terceira equação, .
Substituindo em primeira, , que é satisfatório.
Logo, a única solução é , então o núcleo de T é apenas o vetor nulo.
Passo 10
Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos pela transformação T.
Usando a definição de T:
Podemos ver que:
Assim, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores e .
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes:
Temos ,
o que leva a:
Da segunda equação, ; da terceira, . Portanto, os vetores são linearmente independentes e a imagem de T é um subespaço bidimensional de .
Passo 11
Finalmente, vamos para a letra d): definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste nos vetores que satisfazem:
Passo 12
Observando as equações:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: (é a mesma que a segunda).
Da primeira equação: .
Então, substituindo e .
Portanto, os vetores no núcleo são da forma , onde .
Logo, o núcleo de T é o conjunto de vetores .
Passo 13
Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos pela transformação T.
Usando a definição de T:
Podemos escrever isso como combinação linear:
Portanto, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores , , e .
Vamos verificar a independência linear desses vetores.
Montando uma matriz com essas colunas:
Calculando o determinante, vemos que os vetores são linearmente independentes, mas como o domínio é e a imagem está em , a dimensão máxima da imagem é 3. Porém, pelo núcleo encontrado, que tem dimensão 1, pela relação dim(núcleo) + dim(imagem) = dim(domínio), temos dim(imagem) = 3 - 1 = 2. Portanto, a imagem é um subespaço bidimensional de .
Resposta
a) Núcleo: ; Imagem: reta gerada por .
b) Núcleo: ; Imagem: todo .
c) Núcleo: apenas o vetor nulo ; Imagem: subespaço bidimensional de gerado por e .