Determine o núcleo e a imagem de cada transformação linear abaixo.
a) T: R^2 R^2 em que T(x, y)=(2 x-y,-8 x+4 y).
b) T: R^4 R^3 em que T(x, y, z, w)=(4 x+y-2 z-3 w, 2 x+y+z-4 w, 6 x-9 z+9 w).
c) T: R^2 R^3 em que T(x, y)=(x+y, x, 2 y).
d) T: R^3 R^3 em que T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x).

Passo 1

Aqui, a gente tem um exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem de quatro transformações lineares diferentes. O conteúdo envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo (ou kernel) e imagem (ou image). Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o núcleo resolvendo uma equação homogênea e como identificar a imagem através da combinação linear dos vetores resultantes pela transformação.

Passo 2

Vamos começar com a letra a): 2x - y = 0 -8x + 4y = 0 definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste em todos os vetores em que são transformados em . Ou seja, queremos resolver:

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações:
2x - y = 0 (1) -8x + 4y = 0 (2)
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 4:
-2x + y = 0 (2 simplificada)
Agora, temos:
2x - y = 0 (1) -2x + y = 0 (2 simplificada)
Somando as duas equações:
0 = 0
Isso indica que as duas equações são equivalentes, então temos uma única equação:
2x - y = 0 implies y = 2x
Isso descreve uma reta no plano, então o núcleo é o conjunto de todos os vetores .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores em T(x, y) = (2x - y, -8x + 4y) que podem ser obtidos pela transformação T a partir de algum vetor em T(e1) = T(1,0) = (2, -8) T(e2) = T(0,1) = (-1,4) .
Usando a definição de T:
Podemos escrever isso em termos de combinação linear das imagens das bases canônicas:
Então, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores e .
Notamos que é igual a , ou seja, os vetores são linearmente dependentes.
Portanto, a imagem de T é uma reta no plano, gerada por .

Passo 5

Vamos para a letra b): 4x + y - 2z - 3w = 0 2x + y + z - 4w = 0 6x - 9z + 9w = 0 definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste em resolver o sistema:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
4x + y - 2z - 3w = 0 (1) 2x + y + z - 4w = 0 (2) 6x - 9z + 9w = 0 (3)
Podemos usar o método de eliminação. Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
(4x + y - 2z - 3w) - (2x + y + z - 4w) = 0 2x - 3z + w = 0 (4)
Agora, temos o sistema:
2x - 3z + w = 0 (4) 2x + y + z - 4w = 0 (2) 6x - 9z + 9w = 0 (3)
Podemos multiplicar a equação (4) por 3:
6x - 9z + 3w = 0 (5)
Subtraindo a equação (5) da equação (3):
(6x - 9z + 9w) - (6x - 9z + 3w) = 0 6w = 0 implies w = 0
Substituindo 2x - 3z = 0 implies 2x = 3z implies x = 32z na equação (4):
2(32z) + y + z - 0 = 0 implies 3z + y + z = 0 implies y = -4z
E substituindo x = 32 t y = -4 t z = t w = 0 e na equação (2):
Então, as soluções estão em termos de , que é livre. Sendo , temos:
Portanto, o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma , onde .

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o espaço gerado pelos vetores T(e1) = T(1,0,0,0) = (4, 2, 6) T(e2) = T(0,1,0,0) = (1,1,0) T(e3) = T(0,0,1,0) = (-2,1,-9) T(e4) = T(0,0,0,1) = (-3,-4,9) , , , , onde são os vetores da base canônica de .
Calculando:
Agora, queremos ver o espaço gerado por esses quatro vetores em . Vamos verificar se são linearmente independentes.
Observando que o sistema tem 3 componentes, no máximo a imagem pode ter dimensão 3, mas no caso das transformações lineares de para , a imagem tem no máximo dimensão 3.
Para simplificar, vamos verificar se esses vetores geram o espaço inteiro ou um subespaço menor:
Note que:
Não parece diretamente relacionado, mas vamos deixar a imagem como o espaço gerado por esses vetores, que neste caso, a imagem de T é .
Mas pelo núcleo encontrado anteriormente, que tem dimensão 1, e pela relação entre dimensão e imagem (dim(kernel) + dim(imagem) = dim(domínio)), temos dim(imagem) = 4 - 1 = 3. Portanto, a imagem é todo .

Passo 8

Agora, vamos para a letra c): x + y = 0 x = 0 2y = 0 definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste nos vetores que satisfaçam:

Passo 9

Resolvendo:
Da segunda equação, .
Da terceira equação, .
Substituindo em primeira, , que é satisfatório.
Logo, a única solução é , então o núcleo de T é apenas o vetor nulo.

Passo 10

Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores em T(x, y) = (x + y, x, 2y) que podem ser obtidos pela transformação T.
Usando a definição de T:
T(x,y) = x(1,1,0) + y(1,0,2)
Podemos ver que:
a + b = 0 a = 0 2b = 0
Assim, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores e .
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes:
Temos ,
o que leva a:
Da segunda equação, ; da terceira, . Portanto, os vetores são linearmente independentes e a imagem de T é um subespaço bidimensional de .

Passo 11

Finalmente, vamos para a letra d): x - 3y = 0 x - z = 0 z - x = 0 definida por . Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T.
Núcleo de T consiste nos vetores que satisfazem:

Passo 12

Observando as equações:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: (é a mesma que a segunda).
Da primeira equação: .
Então, substituindo e .
Portanto, os vetores no núcleo são da forma , onde .
Logo, o núcleo de T é o conjunto de vetores .

Passo 13

Agora, vamos determinar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores em T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x) que podem ser obtidos pela transformação T.
Usando a definição de T:
T(x,y,z) = x(1,1,-1) + y(-3,0,0) + z(0,-1,1)
Podemos escrever isso como combinação linear:
1 & -3 & 0 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1
Portanto, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores , , e .
Vamos verificar a independência linear desses vetores.
Montando uma matriz com essas colunas:
Calculando o determinante, vemos que os vetores são linearmente independentes, mas como o domínio é e a imagem está em , a dimensão máxima da imagem é 3. Porém, pelo núcleo encontrado, que tem dimensão 1, pela relação dim(núcleo) + dim(imagem) = dim(domínio), temos dim(imagem) = 3 - 1 = 2. Portanto, a imagem é um subespaço bidimensional de .

Resposta

a) Núcleo: ; Imagem: reta gerada por .
b) Núcleo: ; Imagem: todo .
c) Núcleo: apenas o vetor nulo ; Imagem: subespaço bidimensional de gerado por e .
d) Núcleo: ; Imagem: subespaço bidimensional de .

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