Seja T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(a y+b z, c z, 0) em que a, b e c são números reais. Mostre que T^3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, aplicando a transformação linear três vezes seguidas ( ), a gente chega na transformação nula, que manda qualquer vetor em para o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como compor elas. A gente vai aplicar três vezes em um vetor geral e ver o que acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = (a y + b z, c z, 0) uma vez no vetor T(x, y, z) = (a y + b z, c z, 0) . A transformação é dada por:
Então, ao aplicarmos em , obtemos um novo vetor:

Passo 3

Agora, vamos aplicar T(a y + b z, c z, 0) = (a(c z) + b cdot 0, c cdot 0, 0) = (a c z, 0, 0) de novo, mas dessa vez no vetor que obtivemos no passo anterior, ou seja, . Aplicando a transformação:
Então, após a segunda aplicação de , temos o vetor .

Passo 4

Vamos aplicar T(a c z, 0, 0) = (a cdot 0 + b cdot 0, c cdot 0, 0) = (0, 0, 0) mais uma vez nesse novo vetor . Aplicando a transformação:
Agora, após a terceira aplicação de , chegamos no vetor zero .

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer em . Assim, é a transformação nula, ou seja, .

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