Seja . Prove que a função definida por
(a) Prove que é um homomorfismo.
(b) Determine .
© Prove que .
(d) é um ideal maximal?
(e) é um ideal primo?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a estrutura algébrica do conjunto e a função . O problema está dividido em cinco partes (a) a (e) e vamos precisar de conceitos como homomorfismo de anéis, núcleo de uma função, isomorfismo de quocientes e propriedades de ideais (maximal e primo) para resolver cada parte.

Passo 2

Parte (a): Provar que é um homomorfismo.

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Uma função entre dois anéis e é um homomorfismo se preserva as operações de adição e multiplicação, ou seja, para todos :
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam e em .
Então,
Aplicando :
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação:
Multiplicando e :
Aplicando :
Por outro lado:
Observamos que:
Portanto, a propriedade da multiplicação também é satisfeita.

Passo 5

Parte (b): Determinar .

O núcleo de , , é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para zero em :
Isso implica que . Portanto,

Passo 6

Parte ©: Provar que .

Segundo o Teorema do Primeiro Isomorfismo, se é um homomorfismo de anéis, então:
Como é sobrejetora (já que para qualquer , existe tal que mapeia para ), temos . Portanto:

Passo 7

Parte (d): é um ideal maximal?

Um ideal de um anel é maximal se não há nenhum ideal tal que , exceto ou .
No caso, , que é um anel integral. Entretanto, não é um campo, pois possui ideais não triviais (como ). Portanto, não é maximal, já que o quociente não é um campo.

Passo 8

Parte (e): é um ideal primo?

Um ideal é primo se, sempre que , então pelo menos ou .
Dado que , que é um domínio de integridade (anel comutativo sem divisores de zero), todo ideal primo em corresponde a um ideal primo em . Como satisfaz que é um domínio de integridade, é um ideal primo.

Resposta

Concluímos que:
a) é um homomorfismo de anéis.
b) .
c) .
d) não é um ideal maximal.
e) é um ideal primo.

Exercícios relacionados

Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
©
Em , prove que é um ideal primo mas não é um ideal maximal.
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
© ;
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
então dim