Seja
. Prove que a função
definida por
(a) Prove que
é um homomorfismo.
(b) Determine
.
© Prove que
.
(d)
é um ideal maximal?
(e)
é um ideal primo?
(b) Determine
© Prove que
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve a estrutura algébrica do conjunto
e a função
. O problema está dividido em cinco partes (a) a (e) e vamos precisar de conceitos como homomorfismo de anéis, núcleo de uma função, isomorfismo de quocientes e propriedades de ideais (maximal e primo) para resolver cada parte.
Passo 2
Parte (a): Provar que
é um homomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Uma função
entre dois anéis
e
é um homomorfismo se preserva as operações de adição e multiplicação, ou seja, para todos
:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam
e
em
.
Então,
Aplicando
:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação:
Multiplicando
e
:
Aplicando
:
Por outro lado:
Observamos que:
Portanto, a propriedade da multiplicação também é satisfeita.
Passo 5
Parte (b): Determinar
.
O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para zero em
:
Isso implica que
. Portanto,
Passo 6
Parte ©: Provar que
.
Segundo o Teorema do Primeiro Isomorfismo, se
é um homomorfismo de anéis, então:
Como
é sobrejetora (já que para qualquer
, existe
tal que
mapeia para
), temos
. Portanto:
Passo 7
Parte (d):
é um ideal maximal?
Um ideal
de um anel
é maximal se não há nenhum ideal
tal que
, exceto
ou
.
No caso,
, que é um anel integral. Entretanto,
não é um campo, pois possui ideais não triviais (como
). Portanto,
não é maximal, já que o quociente não é um campo.
Passo 8
Parte (e):
é um ideal primo?
Um ideal
é primo se, sempre que
, então pelo menos
ou
.
Dado que
, que é um domínio de integridade (anel comutativo sem divisores de zero), todo ideal primo em
corresponde a um ideal primo em
. Como
satisfaz que
é um domínio de integridade,
é um ideal primo.
Resposta
Concluímos que:
a)
é um homomorfismo de anéis.
b)
.
c)
.
d)
não é um ideal maximal.
e)
é um ideal primo.
Exercícios relacionados
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
©
©
Em
, prove que
é um ideal primo mas não é um ideal maximal.
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
© ;
©
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
então dim