Seja R=(lla & b b & a): a, b in Z. Prove que a função phi: R Z definida por
phi(ll a & b b & a )=a-b
(a) Prove que phi é um homomorfismo.
(b) Determine ker phi.
© Prove que R / ker phi cong Z.
(d) ker phi é um ideal maximal?
(e) ker phi é um ideal primo?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a estrutura algébrica do conjunto e a função . O problema está dividido em cinco partes (a) a (e) e vamos precisar de conceitos como homomorfismo de anéis, núcleo de uma função, isomorfismo de quocientes e propriedades de ideais (maximal e primo) para resolver cada parte.

Passo 2

Parte (a): Provar que é um homomorfismo.

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Uma função entre dois anéis e é um homomorfismo se preserva as operações de adição e multiplicação, ou seja, para todos :
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam a & b b & a e c & d d & c em X + Y = a + c & b + d b + d & a + c .
Então,
phi(X + Y) = (a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d) = phi(X) + phi(Y)
Aplicando :
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação:
Multiplicando X cdot Y = a & b b & a c & d d & c = ac + bd & ad + bc bc + ad & bd + ac e phi(X cdot Y) = (ac + bd) - (ad + bc) :
phi(X) cdot phi(Y) = (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd
Aplicando (ac + bd) - (ad + bc) = ac - ad - bc + bd :
Por outro lado:
Observamos que:
Portanto, a propriedade da multiplicação também é satisfeita.

Passo 5

Parte (b): Determinar ker phi = a & b b & a in R mid a - b = 0 .

O núcleo de ker phi = a & a a & a mid a in Z , , é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para zero em :
Isso implica que . Portanto,

Passo 6

Parte ©: Provar que R / ker phi cong Im(phi) .

Segundo o Teorema do Primeiro Isomorfismo, se z & 0 0 & z é um homomorfismo de anéis, então:
R / ker phi cong Z
Como é sobrejetora (já que para qualquer , existe tal que mapeia para ), temos . Portanto:

Passo 7

Parte (d): é um ideal maximal?

Um ideal de um anel é maximal se não há nenhum ideal tal que , exceto ou .
No caso, , que é um anel integral. Entretanto, não é um campo, pois possui ideais não triviais (como ). Portanto, não é maximal, já que o quociente não é um campo.

Passo 8

Parte (e): é um ideal primo?

Um ideal é primo se, sempre que , então pelo menos ou .
Dado que , que é um domínio de integridade (anel comutativo sem divisores de zero), todo ideal primo em corresponde a um ideal primo em . Como satisfaz que é um domínio de integridade, é um ideal primo.

Resposta

Concluímos que:
a) a & a a & a é um homomorfismo de anéis.
b) .
c) .
d) não é um ideal maximal.
e) é um ideal primo.

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