Nos ítens abaixo, o vetor w está escrito na base U. Reescreva-o na base V
© w=(2,1,0)U U=(1,0,1),(2,1,2),(1,1,0), V=(2,2,1),(0,1,1),(1,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reescrever o vetor que está na base para a base . Isso envolve entender bases diferentes e como converter um vetor de uma base para outra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolver um sistema de equações. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor w = 2 cdot u1 + 1 cdot u2 + 0 cdot u3 . Isso quer dizer que é uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
Onde , e .

Passo 3

Vamos então calcular as coordenadas de w = 2 cdot (1,0,1) + 1 cdot (2,1,2) + 0 cdot (1,1,0) na base padrão (base w = (2,0,2) + (2,1,2) + (0,0,0) = (4,1,4) ), que é a base usual com vetores , e . Fazendo a combinação linear:
Então, na base padrão, .

Passo 4

Agora, queremos encontrar as coordenadas de w = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 na base (4,1,4) = a cdot (2,2,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (1,1,1) . Para isso, precisamos resolver a seguinte equação:
Onde , e . Substituindo :

Passo 5

Vamos montar um sistema de equações com base nas coordenadas:
2a + 0b + 1c = 4 2a + 1b + 1c = 1 1a + 1b + 1c = 4
Simplificando:
2a + c = 4 (1) 2a + b + c = 1 (2) a + b + c = 4 (3)

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Primeiro, da equação (1):
c = 4 - 2a (4)
Substituindo 2a + b + (4 - 2a) = 1 b + 4 = 1 b = -3 na equação (2):
a + (-3) + (4 - 2a) = 4 a - 3 + 4 - 2a = 4 - a + 1 = 4 - a = 3 a = -3
Agora, substituindo c = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10 e na equação (3):
Usando na equação (4):

Resposta

Então, as coordenadas do vetor na base são .

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