Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reescrever o vetor que está na base para a base . Isso envolve entender bases diferentes e como converter um vetor de uma base para outra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolver um sistema de equações. Bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o vetor . Isso quer dizer que é uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
Onde , e .
Passo 3
Vamos então calcular as coordenadas de na base padrão (base ), que é a base usual com vetores , e . Fazendo a combinação linear:
Então, na base padrão, .
Passo 4
Agora, queremos encontrar as coordenadas de na base . Para isso, precisamos resolver a seguinte equação:
Onde , e . Substituindo :
Passo 5
Vamos montar um sistema de equações com base nas coordenadas:
Simplificando:
2a + c = 4 (1) 2a + b + c = 1 (2) a + b + c = 4 (3)
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Primeiro, da equação (1):
c = 4 - 2a (4)
Substituindo 2a + b + (4 - 2a) = 1 b + 4 = 1 b = -3 na equação (2):
a + (-3) + (4 - 2a) = 4 a - 3 + 4 - 2a = 4 - a + 1 = 4 - a = 3 a = -3
Agora, substituindo c = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10 e na equação (3):