Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A pergunta pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem em transformações lineares e usar um pouco de álgebra para descobrir esses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da primeira equação, .
Da segunda equação, .
Da terceira equação, .
Agora, substituímos e na quarta equação:
Essa última equação é sempre verdadeira, então não nos dá nova informação. Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores onde .
Passo 4
Agora, vamos descrever o núcleo de forma mais clara. Todos os vetores no núcleo podem ser escritos como:
Isso significa que o núcleo é uma linha (subespaço de dimensão 1) gerada pelo vetor .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Para isso, vamos analisar as componentes de :
Podemos representar essa transformação pela matriz:
Para encontrar a imagem, vamos determinar o espaço coluna dessa matriz, ou seja, o conjunto das combinações lineares das colunas de .
Passo 6
Vamos verificar a independência das colunas de . Após realizar a redução de linha, observamos que há 3 colunas que são linearmente independentes. Portanto, a imagem de é um subespaço de dimensão 3 em .
Podemos descrever a imagem como o conjunto de todos os vetores em que satisfazem certas combinações lineares das colunas de .
Resposta
O núcleo da transformação é formado por todos os vetores da forma , ou seja:
ú
A imagem da transformação é um subespaço de dimensão 3 em , formado pelas combinações lineares das colunas da matriz associada a . Portanto: