Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A pergunta pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem em transformações lineares e usar um pouco de álgebra para descobrir esses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, .
  2. Da segunda equação, .
  3. Da terceira equação, .
Agora, substituímos e na quarta equação:
Essa última equação é sempre verdadeira, então não nos dá nova informação. Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores onde .

Passo 4

Agora, vamos descrever o núcleo de forma mais clara. Todos os vetores no núcleo podem ser escritos como:
Isso significa que o núcleo é uma linha (subespaço de dimensão 1) gerada pelo vetor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Para isso, vamos analisar as componentes de :
Podemos representar essa transformação pela matriz:
Para encontrar a imagem, vamos determinar o espaço coluna dessa matriz, ou seja, o conjunto das combinações lineares das colunas de .

Passo 6

Vamos verificar a independência das colunas de . Após realizar a redução de linha, observamos que há 3 colunas que são linearmente independentes. Portanto, a imagem de é um subespaço de dimensão 3 em .
Podemos descrever a imagem como o conjunto de todos os vetores em que satisfazem certas combinações lineares das colunas de .

Resposta

O núcleo da transformação é formado por todos os vetores da forma , ou seja:
ú
A imagem da transformação é um subespaço de dimensão 3 em , formado pelas combinações lineares das colunas da matriz associada a . Portanto:

Exercícios relacionados

Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
então dim
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
© ;
Prove que não é um ideal primo de . (Ajuda: mostre que mas
Scja com
Mostre que é um anel comutativo com unidade.