Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
S e S=[(1,0,-1),(2,1,3),(1,1,4)] então dim S=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores e pergunta se a dimensão de é 3. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente tratando de dimensão e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão é 3; se não, é menor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a equação
a(1,0,-1) + b(2,1,3) + c(1,1,4) = (0,0,0)
só tem a solução , então os vetores são independentes.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações baseado na combinação linear acima:
1a + 2b + 1c = 0 0a + 1b + 1c = 0 -1a + 3b + 4c = 0
Nosso objetivo é ver se a única solução é .

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
  • Da segunda equação: a + 2(-c) + c = 0 implies a - 2c + c = 0 implies a - c = 0 implies a = c -c + 3(-c) + 4c = 0 implies -c -3c +4c = 0 implies 0 = 0
  • Substituindo na primeira equação:
  • Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 5

A última equação nos dá uma identidade verdadeira, mas não fornece informação adicional sobre . Isso significa que há infinitas soluções para além da trivial . Por exemplo, se , então e .

Passo 6

Como existe uma solução não trivial, os vetores não são linearmente independentes. Portanto, o conjunto não tem dimensão 3.

Resposta

A afirmação é falsa. A dimensão de é menor que 3 porque os vetores são linearmente dependentes.

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