Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
então dim

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores e pergunta se a dimensão de é 3. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente tratando de dimensão e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão é 3; se não, é menor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a equação
só tem a solução , então os vetores são independentes.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações baseado na combinação linear acima:
Nosso objetivo é ver se a única solução é .

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
  • Da segunda equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 5

A última equação nos dá uma identidade verdadeira, mas não fornece informação adicional sobre . Isso significa que há infinitas soluções para além da trivial . Por exemplo, se , então e .

Passo 6

Como existe uma solução não trivial, os vetores não são linearmente independentes. Portanto, o conjunto não tem dimensão 3.

Resposta

A afirmação é falsa. A dimensão de é menor que 3 porque os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
© ;
Seja . Prove que a função definida por
(a) Prove que é um homomorfismo.
(b) Determine .
© Prove que .
(d) é um ideal maximal?
(e) é um ideal primo?
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(d)
Prove que não é um ideal primo de . (Ajuda: mostre que mas