Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique. então dim
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores e pergunta se a dimensão de é 3. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente tratando de dimensão e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão é 3; se não, é menor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a equação
só tem a solução , então os vetores são independentes.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações baseado na combinação linear acima:
Nosso objetivo é ver se a única solução é .
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: ⇒
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 5
A última equação nos dá uma identidade verdadeira, mas não fornece informação adicional sobre . Isso significa que há infinitas soluções para além da trivial . Por exemplo, se , então e .
Passo 6
Como existe uma solução não trivial, os vetores não são linearmente independentes. Portanto, o conjunto não tem dimensão 3.
Resposta
A afirmação é falsa. A dimensão de é menor que 3 porque os vetores são linearmente dependentes.