Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por:
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero em . Já a imagem de é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . Para isso, precisamos resolver a equação:
Ou seja:
Este sistema de equações lineares nos ajudará a encontrar quais vetores pertencem ao núcleo de .
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda para simplificar:
Agora, fazemos o mesmo com a terceira equação:
Com e , substituímos na primeira equação:
Passo 4
Agora, podemos expressar todas as variáveis em função de :
Isso significa que qualquer vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Aqui, é um número real qualquer, ou seja, temos uma família de soluções dependente de um parâmetro livre.
Passo 5
Então, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos do vetor . Em outras palavras, o núcleo é:
ú
Isso significa que o núcleo de é uma linha em , ou seja, é um subespaço de dimensão 1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, podemos analisar a matriz da transformação:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas desta matriz. Para determinar se essas colunas são linearmente independentes, podemos calcular o posto da matriz .
Passo 7
Realizando operações de linha para simplificar a matriz :
Aqui, vemos que temos 3 pivôs, o que indica que o posto da matriz é 3. Portanto, as três colunas são linearmente independentes e geram todo o espaço .