Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(e) P(x, y, z, w)=(x+y+z, x+y+w, x-y+z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o núcleo e a imagem da transformação linear P(x, y, z, w) = (x + y + z, x + y + w, x - y + z) definida por:
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero em . Já a imagem de é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de P(x, y, z, w) = (0, 0, 0) . Para isso, precisamos resolver a equação:
x + y + z = 0 x + y + w = 0 x - y + z = 0
Ou seja:
Este sistema de equações lineares nos ajudará a encontrar quais vetores pertencem ao núcleo de .

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda para simplificar:
(x + y + w) - (x + y + z) Rightarrow w - z = 0 Rightarrow w = z
Agora, fazemos o mesmo com a terceira equação:
(x - y + z) - (x + y + z) Rightarrow -2y = 0 Rightarrow y = 0
Com x + 0 + z = 0 Rightarrow x = -z e , substituímos na primeira equação:

Passo 4

Agora, podemos expressar todas as variáveis em função de x = -z, y = 0, w = z :
(x, y, z, w) = (-z, 0, z, z) = z cdot (-1, 0, 1, 1)
Isso significa que qualquer vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Aqui, é um número real qualquer, ou seja, temos uma família de soluções dependente de um parâmetro livre.

Passo 5

Então, o núcleo de Núc<=o(P) = z cdot (-1, 0, 1, 1) mid z in R é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos do vetor . Em outras palavras, o núcleo é:
ú
Isso significa que o núcleo de é uma linha em , ou seja, é um subespaço de dimensão 1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, podemos analisar a matriz da transformação:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas desta matriz. Para determinar se essas colunas são linearmente independentes, podemos calcular o posto da matriz .

Passo 7

Realizando operações de linha para simplificar a matriz 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & -2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 :
Aqui, vemos que temos 3 pivôs, o que indica que o posto da matriz é 3. Portanto, as três colunas são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Resposta

  • Núcleo de : Todos os vetores da forma , onde .
  • Imagem de : Todo o espaço .

Exercícios relacionados