Seja S: R^2 longrightarrow R^3 e T: R^3 longrightarrow R^2 transformações lineares definidas por
S(x, y)=(x-y, 3 x, y) e T(x, y, z)=(2 x-y-z, x+y)
Determine a representação matricial de S, T, S circ T e T circ S com respeito as bases ordenadas
alpha=(1,-1),(0,2) e beta=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
de R^2 e R^3, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem duas transformações, e , que passam de para e vice-versa. O que a gente precisa fazer é encontrar as representações matriciais dessas transformações e também das composições e , usando as bases específicas que foram dadas. Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em matrizes e como mudar de base quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma representação matricial de uma transformação linear. Basicamente, é uma matriz que, quando multiplicada por um vetor de entrada, produz o vetor de saída da transformação. A base escolhida influencia diretamente essa matriz. Aqui, temos as bases para e para .

Passo 3

Vamos começar com a transformação S(x, y) = (x - y, 3x, y) definida por:
Queremos encontrar a matriz de na base .

Passo 4

Para encontrar a matriz de na base , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado na base .
Primeiro, aplicamos aos vetores da base :

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses resultados na base a + b + c = 2 0 + b + c = 3 0 + 0 + c = -1 . Vamos resolver sistemas de equações para encontrar as coordenadas.
Para , queremos .
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, temos , , e .
Então, as coordenadas são .

Passo 6

Para a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) = (-2,0,2) , fazemos o mesmo:
a + b + c = -2 0 + b + c = 0 0 + 0 + c = 2
O que dá:
Resolvendo, , , e .
Então, as coordenadas são .

Passo 7

Agora, a matriz de [S]alpha^beta = -3 & -2 4 & -2 -1 & 2 na base e é formada pelas coordenadas encontradas:

Passo 8

Vamos agora para a transformação T(x, y, z) = (2x - y - z, x + y) definida por:
Precisamos encontrar a matriz de na base para e na base para .

Passo 9

Para , aplicamos a transformação aos vetores da base :

Passo 10

Agora, expressamos esses resultados na base a(1,-1) + b(0,2) = (2,1) . Para cada vetor resultante, resolvemos:
Para a = 2 - a + 2b = 1 :
a(1,-1) + b(0,2) = (1,2)
Isso dá:
a = 1 - a + 2b = 2
Resolvendo, a(1,-1) + b(0,2) = (0,2) e a = 0 - a + 2b = 2 .
Então, as coordenadas são .
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .

Passo 11

Agora, a matriz de [T]beta^alpha = 2 & 1 & 0 1.5 & 1.5 & 1 na base e é formada pelas coordenadas encontradas:

Passo 12

Para encontrar [S circ T]alpha^alpha = [S]alpha^beta cdot [T]beta^alpha = -3 & -2 4 & -2 -1 & 2 cdot 2 & 1 & 0 1.5 & 1.5 & 1 , que é -3 cdot 2 + (-2) cdot 1.5 = -6 -3 = -9 , vamos multiplicar as matrizes de -3 cdot 1 + (-2) cdot 1.5 = -3 -3 = -6 e -3 cdot 0 + (-2) cdot 1 = 0 -2 = -2 . As dimensões estão compatíveis: 4 cdot 2 + (-2) cdot 1.5 = 8 -3 = 5 é 4 cdot 1 + (-2) cdot 1.5 = 4 -3 = 1 e 4 cdot 0 + (-2) cdot 1 = 0 -2 = -2 é -1 cdot 2 + 2 cdot 1.5 = -2 +3 = 1 .
-1 cdot 1 + 2 cdot 1.5 = -1 +3 = 2
Vamos multiplicar:
Para a entrada (1,1):
-1 cdot 0 + 2 cdot 1 = 0 +2 = 2
Para a entrada (1,2):
[S circ T]alpha^alpha = -9 & -6 & -2 5 & 1 & -2 1 & 2 & 2
Para a entrada (1,3):
Repetindo para as demais linhas:
Para a entrada (2,1):
Para a entrada (2,2):
Para a entrada (2,3):
Para a entrada (3,1):
Para a entrada (3,2):
Para a entrada (3,3):
Então,

Passo 13

Agora, para [T circ S]beta^beta = [T]beta^alpha cdot [S]alpha^beta = 2 & 1 & 0 1.5 & 1.5 & 1 cdot -3 & -2 4 & -2 -1 & 2 , que é 2 cdot (-3) + 1 cdot 4 + 0 cdot (-1) = -6 +4 +0 = -2 , multiplicamos as matrizes de 2 cdot (-2) + 1 cdot (-2) + 0 cdot 2 = -4 -2 +0 = -6 e 1.5 cdot (-3) + 1.5 cdot 4 +1 cdot (-1) = -4.5 +6 -1 = 0.5 . Aqui, 1.5 cdot (-2) + 1.5 cdot (-2) +1 cdot 2 = -3 -3 +2 = -4 é [T circ S]beta^beta = -2 & -6 0.5 & -4 e é , o que resulta em uma matriz .
Vamos multiplicar:
Para a entrada (1,1):
Para a entrada (1,2):
Para a entrada (2,1):
Para a entrada (2,2):
Então,

Resposta

& [S]alpha^beta = -3 & -2 4 & -2 -1 & 2 , & [T]beta^alpha = 2 & 1 & 0 1.5 & 1.5 & 1 , & [S circ T]alpha^alpha = -9 & -6 & -2 5 & 1 & -2 1 & 2 & 2 , & [T circ S]beta^beta = -2 & -6 0.5 & -4

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