Determine a representação matricial de e com respeito as bases ordenadas
de e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem duas transformações, e , que passam de para e vice-versa. O que a gente precisa fazer é encontrar as representações matriciais dessas transformações e também das composições e , usando as bases específicas que foram dadas. Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em matrizes e como mudar de base quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma representação matricial de uma transformação linear. Basicamente, é uma matriz que, quando multiplicada por um vetor de entrada, produz o vetor de saída da transformação. A base escolhida influencia diretamente essa matriz. Aqui, temos as bases para e para .
Passo 3
Vamos começar com a transformação definida por:
Queremos encontrar a matriz de na base .
Passo 4
Para encontrar a matriz de na base , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado na base .
Primeiro, aplicamos aos vetores da base :
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses resultados na base . Vamos resolver sistemas de equações para encontrar as coordenadas.
Para , queremos .
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, temos , , e .
Então, as coordenadas são .
Passo 6
Para a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) = (-2,0,2) , fazemos o mesmo:
a + b + c = -2 0 + b + c = 0 0 + 0 + c = 2
O que dá:
Resolvendo, , , e .
Então, as coordenadas são .
Passo 7
Agora, a matriz de [S]alpha^beta = -3 & -2 4 & -2 -1 & 2 na base e é formada pelas coordenadas encontradas:
Passo 8
Vamos agora para a transformação T(x, y, z) = (2x - y - z, x + y) definida por:
Precisamos encontrar a matriz de na base para e na base para .
Passo 9
Para , aplicamos a transformação aos vetores da base :
Passo 10
Agora, expressamos esses resultados na base a(1,-1) + b(0,2) = (2,1) . Para cada vetor resultante, resolvemos:
Para a = 2 - a + 2b = 1 :
a(1,-1) + b(0,2) = (1,2)
Isso dá:
a = 1 - a + 2b = 2
Resolvendo, a(1,-1) + b(0,2) = (0,2) e a = 0 - a + 2b = 2 .
Então, as coordenadas são .
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .
Passo 11
Agora, a matriz de [T]beta^alpha = 2 & 1 & 0 1.5 & 1.5 & 1 na base e é formada pelas coordenadas encontradas: