Determine a representação matricial de e com respeito as bases ordenadas
de e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem duas transformações, e , que passam de para e vice-versa. O que a gente precisa fazer é encontrar as representações matriciais dessas transformações e também das composições e , usando as bases específicas que foram dadas. Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em matrizes e como mudar de base quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma representação matricial de uma transformação linear. Basicamente, é uma matriz que, quando multiplicada por um vetor de entrada, produz o vetor de saída da transformação. A base escolhida influencia diretamente essa matriz. Aqui, temos as bases para e para .
Passo 3
Vamos começar com a transformação definida por:
Queremos encontrar a matriz de na base .
Passo 4
Para encontrar a matriz de na base , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado na base .
Primeiro, aplicamos aos vetores da base :
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses resultados na base . Vamos resolver sistemas de equações para encontrar as coordenadas.
Para , queremos .
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, temos , , e .
Então, as coordenadas são .
Passo 6
Para , fazemos o mesmo:
O que dá:
Resolvendo, , , e .
Então, as coordenadas são .
Passo 7
Agora, a matriz de na base e é formada pelas coordenadas encontradas:
Passo 8
Vamos agora para a transformação definida por:
Precisamos encontrar a matriz de na base para e na base para .
Passo 9
Para , aplicamos a transformação aos vetores da base :
Passo 10
Agora, expressamos esses resultados na base . Para cada vetor resultante, resolvemos:
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .
Para :
Isso dá:
Resolvendo, e .
Então, as coordenadas são .
Passo 11
Agora, a matriz de na base e é formada pelas coordenadas encontradas:
Passo 12
Para encontrar , que é , vamos multiplicar as matrizes de e . As dimensões estão compatíveis: é e é .
Vamos multiplicar:
Para a entrada (1,1):
Para a entrada (1,2):
Para a entrada (1,3):
Repetindo para as demais linhas:
Para a entrada (2,1):
Para a entrada (2,2):
Para a entrada (2,3):
Para a entrada (3,1):
Para a entrada (3,2):
Para a entrada (3,3):
Então,
Passo 13
Agora, para , que é , multiplicamos as matrizes de e . Aqui, é e é , o que resulta em uma matriz .