Seja
a transformação linear definida por
Determine a representação matricial de
em relação as bases ordenadas
de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você me pediu para encontrar a representação matricial da transformação linear
que atua sobre polinômios de grau até 2. O conteúdo principal aqui é transformações lineares e representações matriciais. Vamos precisar entender como aplicar
aos vetores da base e expressar o resultado em termos dessa base. Pronto? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços
e
. No nosso caso,
, e a base escolhida é
.
Passo 3
Para encontrar a matriz de
, precisamos ver como
age em cada vetor da base
. Ou seja, vamos aplicar
a cada polinômio base e expressar o resultado em termos da base
. Cada resultado vai formar uma coluna da nossa matriz.
Passo 4
Vamos começar aplicando
ao primeiro vetor da base, que é
:
Então,
. Agora, expressamos
na base
:
Isso nos dá os coeficientes
, que serão a primeira coluna da matriz.
Passo 5
Agora, vamos aplicar
ao segundo vetor da base, que é
:
Então,
. Expressando isso na base
:
Os coeficientes são
, que formam a segunda coluna da matriz.
Passo 6
Por fim, vamos aplicar
ao terceiro vetor da base, que é
:
Então,
. Expressando na base
:
Os coeficientes são
, que formam a terceira coluna da matriz.
Resposta
A representação matricial de
em relação às bases
e
é: