Seja T: P2(R) P2(R) a transformação linear definida por
(T p)(x)=12(p(x)+p(-x))
Determine a representação matricial de T em relação as bases ordenadas
alpha=1, x, x^2 e beta=1, x, x^2
de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você me pediu para encontrar a representação matricial da transformação linear que atua sobre polinômios de grau até 2. O conteúdo principal aqui é transformações lineares e representações matriciais. Vamos precisar entender como aplicar aos vetores da base e expressar o resultado em termos dessa base. Pronto? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços e . No nosso caso, , e a base escolhida é .

Passo 3

Para encontrar a matriz de , precisamos ver como age em cada vetor da base . Ou seja, vamos aplicar a cada polinômio base e expressar o resultado em termos da base . Cada resultado vai formar uma coluna da nossa matriz.

Passo 4

Vamos começar aplicando T(1) = 12(1 + 1) = 12 times 2 = 1 ao primeiro vetor da base, que é 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 :
Então, . Agora, expressamos na base :
Isso nos dá os coeficientes , que serão a primeira coluna da matriz.

Passo 5

Agora, vamos aplicar T(x) = 12(x + (-x)) = 12(0) = 0 ao segundo vetor da base, que é 0 = 0 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 :
Então, . Expressando isso na base :
Os coeficientes são , que formam a segunda coluna da matriz.

Passo 6

Por fim, vamos aplicar T(x^2) = 12(x^2 + x^2) = 12 times 2x^2 = x^2 ao terceiro vetor da base, que é x^2 = 0 cdot 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2 :
Então, . Expressando na base :
Os coeficientes são , que formam a terceira coluna da matriz.

Resposta

A representação matricial de 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 em relação às bases e é:

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