Mostre que com primo é um corpo.

Passo 1

Então, temos o exercício de mostrar que , onde é primo, é um corpo. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre estruturas algébricas chamadas corpos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades de um corpo, ou seja, se é um anel comutativo com identidade onde todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . É o conjunto dos restos da divisão de números inteiros por , ou seja, . Como é primo, isso simplifica várias propriedades.

Passo 3

Um corpo precisa ser um anel comutativo com identidade. Em , a adição e a multiplicação são definidas como a soma e o produto dos restos modulo . É fácil ver que é um anel comutativo com identidade para a adição (0) e para a multiplicação (1).

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que todo elemento diferente de zero em tem um inverso multiplicativo. Ou seja, para cada , com , existe um tal que .

Passo 5

Como é primo, qualquer número com é coprimo com . Pelo Teorema de Bézout, existe inteiros e tais que . Reduzindo isso módulo , temos , o que mostra que é o inverso de em .

Passo 6

Como todo elemento não nulo em tem um inverso multiplicativo, e é um anel comutativo com identidade, concluímos que é um corpo.

Resposta

Portanto, mostramos que com primo satisfaz todas as propriedades de um corpo, confirmando que é, de fato, um corpo.

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Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(e)
Seja a transformação linear definida por
Determine a representação matricial de em relação as bases ordenadas
de .
Seja e transformações lineares definidas por
Determine a representação matricial de e com respeito as bases ordenadas
de e , respectivamente.
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(a) .