Mostre que Zp com p primo é um corpo.

Passo 1

Então, temos o exercício de mostrar que Zp, onde p é primo, é um corpo. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre estruturas algébricas chamadas corpos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se Zp satisfaz todas as propriedades de um corpo, ou seja, se é um anel comutativo com identidade onde todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é Zp. É o conjunto dos restos da divisão de números inteiros por p, ou seja, Zp = 0, 1, 2, dots, p-1. Como p é primo, isso simplifica várias propriedades.

Passo 3

Um corpo precisa ser um anel comutativo com identidade. Em Zp, a adição e a multiplicação são definidas como a soma e o produto dos restos modulo p. É fácil ver que Zp é um anel comutativo com identidade para a adição (0) e para a multiplicação (1).

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que todo elemento diferente de zero em Zp tem um inverso multiplicativo. Ou seja, para cada a in Zp, com a neq 0, existe um b in Zp tal que a times b equiv 1 pmodp.

Passo 5

Como p é primo, qualquer número a com 1 <= a <= p-1 é coprimo com p. Pelo Teorema de Bézout, existe inteiros x e y tais que a times x + p times y = 1. Reduzindo isso módulo p, temos a times x equiv 1 pmodp, o que mostra que x é o inverso de a em Zp.

Passo 6

Como todo elemento não nulo em Zp tem um inverso multiplicativo, e Zp é um anel comutativo com identidade, concluímos que Zp é um corpo.

Resposta

Portanto, mostramos que Zp com p primo satisfaz todas as propriedades de um corpo, confirmando que Zp é, de fato, um corpo.

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