Mostre que
com
primo é um corpo.
Passo 1
Então, temos o exercício de mostrar que
, onde
é primo, é um corpo. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre estruturas algébricas chamadas corpos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz todas as propriedades de um corpo, ou seja, se é um anel comutativo com identidade onde todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. É o conjunto dos restos da divisão de números inteiros por
, ou seja,
. Como
é primo, isso simplifica várias propriedades.
Passo 3
Um corpo precisa ser um anel comutativo com identidade. Em
, a adição e a multiplicação são definidas como a soma e o produto dos restos modulo
. É fácil ver que
é um anel comutativo com identidade para a adição (0) e para a multiplicação (1).
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que todo elemento diferente de zero em
tem um inverso multiplicativo. Ou seja, para cada
, com
, existe um
tal que
.
Passo 5
Como
é primo, qualquer número
com
é coprimo com
. Pelo Teorema de Bézout, existe inteiros
e
tais que
. Reduzindo isso módulo
, temos
, o que mostra que
é o inverso de
em
.
Passo 6
Como todo elemento não nulo em
tem um inverso multiplicativo, e
é um anel comutativo com identidade, concluímos que
é um corpo.
Resposta
Portanto, mostramos que
com
primo satisfaz todas as propriedades de um corpo, confirmando que
é, de fato, um corpo.
Exercícios relacionados
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(e)
(e)
Seja
a transformação linear definida por
Determine a representação matricial de
em relação as bases ordenadas
de
.
Seja
e
transformações lineares definidas por
Determine a representação matricial de
e
com respeito as bases ordenadas
de
e
, respectivamente.
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(a) .
(a)