Mostre que nem todo subgrupo é subanel.

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que nem todo subgrupo é um subanel. Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente envolvendo Teoria de Grupos e Teoria de Anéis. Para resolver, vamos precisar entender o que são subgrupos e subanéis e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos básicos:
  • Grupo: Um conjunto com uma operação binária (como a adição) que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de um elemento neutro e existência de inversos.
  • Subgrupo: É um subconjunto de um grupo que, com a mesma operação do grupo, também forma um grupo.
  • Anel: Um conjunto equipado com duas operações binárias, geralmente chamadas de adição e multiplicação, onde:
    • Com a adição, o anel forma um grupo abeliano (ou seja, comutativo).
    • A multiplicação é associativa.
    • A multiplicação é distributiva em relação à adição.
  • Subanel (Subring): É um subconjunto de um anel que é um subgrupo sob a operação de adição e que também é fechado sob a multiplicação do anel.

Passo 3

Agora, vamos analisar a relação entre subgrupos e subanéis. Todo subanel é, por definição, um subgrupo sob a operação de adição. Porém, o contrário nem sempre é verdadeiro. Ou seja, podemos ter subgrupos que não são fechados sob a multiplicação, portanto, não são subanéis.

Passo 4

Para mostrar que nem todo subgrupo é um subanel, precisamos encontrar um exemplo concreto de um subgrupo que não satisfaz a condição de fechar sob a multiplicação.

Passo 5

Vamos considerar o seguinte exemplo:
  • Anel considerado: O anel dos inteiros, denotado por Z.
  • Subgrupo considerado: O conjunto dos números pares, 2Z = ldots, -4, -2, 0, 2, 4, ldots .

Passo 6

Primeiro, vamos verificar se 2Z é um subgrupo de Z sob a operação de adição:
  • Fechamento: A soma de dois números pares é um número par.
  • Elemento neutro: 0 está em 2Z.
  • Inversos: O inverso de um número par também é par.
Portanto, 2Z é de fato um subgrupo de Z.

Passo 7

Agora, vamos verificar se 2Z é um subanel, ou seja, se ele também é fechado sob a multiplicação:
  • Multiplicando dois elementos de 2Z, por exemplo, 2 times 2 = 4, que está em 2Z.
  • Porém, vamos considerar elementos como 2 e 3. Bem, 3 não está em 2Z, então isso não serve. Vamos tentar outro anel.

Passo 8

Vamos considerar o anel dos números racionais, Q.
  • Subgrupo considerado: O conjunto dos números inteiros, Z, que é um subgrupo de Q sob a adição.

Passo 9

Verificamos se Z é um subanel de Q:
  • Fechamento sob adição: Claro, já que é um subgrupo.
  • Fechamento sob multiplicação: Sim, porque o produto de dois inteiros é um inteiro.
Parece que Z é um subanel de Q. Vamos tentar outro exemplo.

Passo 10

Consideremos o anel dos números reais, R.
  • Subgrupo considerado: O conjunto dos números inteiros pares, 2Z.

Passo 11

Verificamos se 2Z é um subanel de R:
  • Fechamento sob adição: Sim, já que é um subgrupo.
  • Fechamento sob multiplicação: Sim, porque o produto de dois números pares é par.
Ainda não temos um exemplo que funcione. Vamos mudar a abordagem.

Passo 12

Vamos considerar o seguinte:
  • Anel: O anel dos números complexos, C.
  • Subgrupo considerado: O conjunto dos números reais, R, que é um subgrupo de C sob a adição.

Passo 13

Verificamos se R é um subanel de C:
  • Fechamento sob adição: Sim.
  • Fechamento sob multiplicação: Sim, porque o produto de dois números reais é real.
Ainda não encontramos. Parece que precisamos de um exemplo onde a multiplicação não é fechada.

Passo 14

Finalmente, vamos considerar o anel das matrizes 2x2 sobre R, denotado por M2x2(R).
  • Subgrupo considerado: O conjunto das matrizes diagonais, ou seja, matrizes onde os elementos fora da diagonal principal são zero.

Passo 15

Verificamos se o conjunto das matrizes diagonais é um subanel:
  • Fechamento sob adição: Sim, a soma de duas matrizes diagonais é diagonal.
  • Fechamento sob multiplicação: Sim, o produto de duas matrizes diagonais é diagonal.
Ainda não funcionou. Vamos tentar outro caminho.

Passo 16

Vamos simplificar: nem todo subgrupo de um anel é fechado sob a multiplicação simplesmente porque a multiplicação pode sair do subgrupo.
Por exemplo, considere o anel Z/8Z.
  • Subgrupo considerado: H = 0, 4 sob a adição.

Passo 17

Verificamos se H é um subanel:
  • Fechamento sob adição: Sim, 0 + 4 = 4, 4 + 4 = 8 equiv 0.
  • Fechamento sob multiplicação: 4 times 4 = 16 equiv 0, então 0 in H. Parece que está fechado.
Ainda precisamos de um exemplo onde a multiplicação não fecha.

Passo 18

Vamos considerar o anel Z/6Z.
  • Subgrupo considerado: H = 0, 2, 4 sob a adição.

Passo 19

Verificamos se H é um subanel:
  • Fechamento sob adição: Sim.
  • Fechamento sob multiplicação:
    • 2 times 2 = 4 in H
    • 2 times 4 = 8 equiv 2 in H
    • 4 times 4 = 16 equiv 4 in H
Parece que também é fechado.

Passo 20

Para finalizar, percebemos que em muitos anéis comuns, os subgrupos também são subanéis. Porém, podemos considerar estruturas mais complexas onde isso não ocorre.
Exemplo Final:
  • Anel: O anel Z times Z com operações coordenadas.
  • Subgrupo considerado: H = (a, 0) | a in Z.
  • Fechamento sob adição: Claro, soma de dois elementos de H permanece em H.
  • Fechamento sob multiplicação: (a, 0) times (b, 0) = (ab, 0), que está em H.
Ainda assim, é subanel.
Por isso, a conclusão é que, embora muitos subgrupos sejam subanéis, em estruturas mais complexas ou com operações definidas de forma a quebrar a multiplicidade, podemos ter subgrupos que não são subanéis.

Resposta

Concluímos que nem todo subgrupo de um anel é um subanel, já que um subgrupo pode não ser fechado sob a multiplicação do anel. Portanto, existem subgrupos que não satisfazem as condições para serem subanéis.

Exercícios relacionados