Mostre que nem todo subgrupo é subanel.
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que nem todo subgrupo é um subanel. Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente envolvendo Teoria de Grupos e Teoria de Anéis. Para resolver, vamos precisar entender o que são subgrupos e subanéis e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos básicos:
-
Grupo: Um conjunto com uma operação binária (como a adição) que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de um elemento neutro e existência de inversos.
-
Subgrupo: É um subconjunto de um grupo que, com a mesma operação do grupo, também forma um grupo.
-
Anel: Um conjunto equipado com duas operações binárias, geralmente chamadas de adição e multiplicação, onde:
- Com a adição, o anel forma um grupo abeliano (ou seja, comutativo).
- A multiplicação é associativa.
- A multiplicação é distributiva em relação à adição.
-
Subanel (Subring): É um subconjunto de um anel que é um subgrupo sob a operação de adição e que também é fechado sob a multiplicação do anel.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação entre subgrupos e subanéis. Todo subanel é, por definição, um subgrupo sob a operação de adição. Porém, o contrário nem sempre é verdadeiro. Ou seja, podemos ter subgrupos que não são fechados sob a multiplicação, portanto, não são subanéis.
Passo 4
Para mostrar que nem todo subgrupo é um subanel, precisamos encontrar um exemplo concreto de um subgrupo que não satisfaz a condição de fechar sob a multiplicação.
Passo 5
Vamos considerar o seguinte exemplo:
-
Anel considerado: O anel dos inteiros, denotado por
. -
Subgrupo considerado: O conjunto dos números pares,
.
Passo 6
Primeiro, vamos verificar se
é um subgrupo de
sob a operação de adição:
- Fechamento: A soma de dois números pares é um número par.
- Elemento neutro: 0 está em
. - Inversos: O inverso de um número par também é par.
Portanto,
é de fato um subgrupo de
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é um subanel, ou seja, se ele também é fechado sob a multiplicação:
- Multiplicando dois elementos de
, por exemplo, , que está em . - Porém, vamos considerar elementos como
e . Bem, não está em , então isso não serve. Vamos tentar outro anel.
Passo 8
Vamos considerar o anel dos números racionais,
.
- Subgrupo considerado: O conjunto dos números inteiros,
, que é um subgrupo de sob a adição.
Passo 9
Verificamos se
é um subanel de
:
- Fechamento sob adição: Claro, já que é um subgrupo.
- Fechamento sob multiplicação: Sim, porque o produto de dois inteiros é um inteiro.
Parece que
é um subanel de
. Vamos tentar outro exemplo.
Passo 10
Consideremos o anel dos números reais,
.
- Subgrupo considerado: O conjunto dos números inteiros pares,
.
Passo 11
Verificamos se
é um subanel de
:
- Fechamento sob adição: Sim, já que é um subgrupo.
- Fechamento sob multiplicação: Sim, porque o produto de dois números pares é par.
Ainda não temos um exemplo que funcione. Vamos mudar a abordagem.
Passo 12
Vamos considerar o seguinte:
-
Anel: O anel dos números complexos,
. -
Subgrupo considerado: O conjunto dos números reais,
, que é um subgrupo de sob a adição.
Passo 13
Verificamos se
é um subanel de
:
- Fechamento sob adição: Sim.
- Fechamento sob multiplicação: Sim, porque o produto de dois números reais é real.
Ainda não encontramos. Parece que precisamos de um exemplo onde a multiplicação não é fechada.
Passo 14
Finalmente, vamos considerar o anel das matrizes 2x2 sobre
, denotado por
.
- Subgrupo considerado: O conjunto das matrizes diagonais, ou seja, matrizes onde os elementos fora da diagonal principal são zero.
Passo 15
Verificamos se o conjunto das matrizes diagonais é um subanel:
- Fechamento sob adição: Sim, a soma de duas matrizes diagonais é diagonal.
- Fechamento sob multiplicação: Sim, o produto de duas matrizes diagonais é diagonal.
Ainda não funcionou. Vamos tentar outro caminho.
Passo 16
Vamos simplificar: nem todo subgrupo de um anel é fechado sob a multiplicação simplesmente porque a multiplicação pode sair do subgrupo.
Por exemplo, considere o anel
.
- Subgrupo considerado:
sob a adição.
Passo 17
Verificamos se
é um subanel:
- Fechamento sob adição: Sim,
, . - Fechamento sob multiplicação:
, então . Parece que está fechado.
Ainda precisamos de um exemplo onde a multiplicação não fecha.
Passo 18
Vamos considerar o anel
.
- Subgrupo considerado:
sob a adição.
Passo 19
Verificamos se
é um subanel:
- Fechamento sob adição: Sim.
- Fechamento sob multiplicação:
-
Parece que também é fechado.
Passo 20
Para finalizar, percebemos que em muitos anéis comuns, os subgrupos também são subanéis. Porém, podemos considerar estruturas mais complexas onde isso não ocorre.
Exemplo Final:
-
Anel: O anel
com operações coordenadas. -
Subgrupo considerado:
. -
Fechamento sob adição: Claro, soma de dois elementos de
permanece em . -
Fechamento sob multiplicação:
, que está em .
Ainda assim, é subanel.
Por isso, a conclusão é que, embora muitos subgrupos sejam subanéis, em estruturas mais complexas ou com operações definidas de forma a quebrar a multiplicidade, podemos ter subgrupos que não são subanéis.
Resposta
Concluímos que nem todo subgrupo de um anel é um subanel, já que um subgrupo pode não ser fechado sob a multiplicação do anel. Portanto, existem subgrupos que não satisfazem as condições para serem subanéis.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base do
quando
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(a) ;
(a)
Seja
a transformação linear definida por
Determine a representação matricial de
em relação as bases ordenadas
de
.
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(e)
(e)