Seja:
A=[lllll 3 & 1 & 2 & 1 & 3 0 & 2 & 0 & 2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 2 & 0 & 5 ]
(a) Verifique se A é inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada de tamanho 5x5 e pede para verificar se ela é inversível. Isso está ligado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma matriz inversível, que geralmente envolve calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. Mas, para facilitar, uma das maneiras mais rápidas de verificar se uma matriz é inversível é calculando o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível; se for zero, ela não é.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A=[lllll 3 & 1 & 2 & 1 & 3 0 & 2 & 0 & 2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 2 & 0 & 5 ] . A matriz dada é:
Observando a matriz, quase todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero, mas há um elemento na posição (5,3), então não é uma matriz triangular superior perfeita. Porém, podemos usar propriedades de determinantes para simplificar o cálculo.

Passo 4

Uma estratégia eficiente é eliminar esse elemento não-zero abaixo da diagonal principal para transformar a matriz em triangular superior. Podemos fazer isso usando operações elementares que não mudam o determinante (como adicionar múltiplos de uma linha a outra).
Então, vamos eliminar o 0, 0, 2, 0, 5 na posição (5,3):
  • Multiplicamos a terceira linha por e somamos à quinta linha para manter os elementos iguais (já que a terceira linha tem zeros nas primeiras três posições).
Após essa operação, a quinta linha se torna:
Na verdade, nesse caso específico, como a terceira linha já tem zeros nas primeiras três posições, não conseguimos eliminar o facilmente sem afetar o determinante. Portanto, seguiremos calculando o determinante diretamente.

Passo 5

Para calcular o determinante de uma matriz 5x5, podemos usar a expansão por cofatores, mas isso é bastante trabalhoso. No entanto, observando que há uma coluna com muitos zeros, podemos simplificar o cálculo. Vamos expandir o determinante pela terceira coluna, que tem mais zeros:
det(A) = (-1)^1+3 cdot 2 cdot det[llll 0 & 2 & 2 & 4 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 4 0 & 2 & 0 & 5 ]

Passo 6

Agora calculamos o determinante da matriz 4x4 resultante. Observando novamente, notamos que a segunda coluna tem bastante zeros. Vamos expandir novamente pelo segundo coluna:
det = (-1)^1+3 cdot 2 cdot [ 2 cdot det[lll 0 & 1 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 5 ] ]

Passo 7

Calculando o determinante da matriz 3x3:
det[lll 0 & 1 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 5 ] = 0 cdot det[ll 1 & 4 0 & 5 ] - 1 cdot det[ll 0 & 4 0 & 5 ] + 3 cdot det[ll 0 & 1 0 & 0 ] = 0 - (0 - 0) + 0 = 0

Resposta

Como o determinante de é zero, a matriz não é inversível.

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