Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de transformações lineares. A questão pede para encontrar o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo consiste em todos os vetores
de
que quando aplicados na transformação dão o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. A segunda equação pode ser expressa como
. Substituindo
na primeira equação:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos expressar o núcleo em termos de
:
Então, o núcleo é gerado pelo vetor
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem consiste em todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Para isso, observamos os vetores gerados pelas transformações das bases de
.
Vamos considerar
,
e
, onde
,
e
.
Calculando:
Passo 6
Agora, verificamos se esses vetores são lineares ou não. Vamos montar uma matriz com essas imagens como colunas:
Vamos ver se alguma coluna é combinação linear das outras. Observamos que:
Isso não é igual a
, então todas as imagens são linearmente independentes até certo ponto.
Passo 7
Percebo que apenas duas dessas imagens são suficientes para gerar a imagem total, já que o espaço de chegada é
. Então, a imagem de
é o espaço gerado pelos vetores
e
.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores da forma
, ou seja,
E a imagem de
é o subespaço de
gerado pelos vetores
e
.