Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: dada por ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de transformações lineares. A questão pede para encontrar o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo consiste em todos os vetores de que quando aplicados na transformação dão o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. A segunda equação pode ser expressa como . Substituindo na primeira equação:
Passo 4
Agora que temos e , podemos expressar o núcleo em termos de :
Então, o núcleo é gerado pelo vetor .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem consiste em todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, observamos os vetores gerados pelas transformações das bases de .
Vamos considerar , e , onde , e .
Calculando:
Passo 6
Agora, verificamos se esses vetores são lineares ou não. Vamos montar uma matriz com essas imagens como colunas:
Vamos ver se alguma coluna é combinação linear das outras. Observamos que:
Isso não é igual a , então todas as imagens são linearmente independentes até certo ponto.
Passo 7
Percebo que apenas duas dessas imagens são suficientes para gerar a imagem total, já que o espaço de chegada é . Então, a imagem de é o espaço gerado pelos vetores e .
Resposta
O núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , ou seja,
E a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e .