Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(-2 x+3 y-z, x-y-2 z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de transformações lineares. A questão pede para encontrar o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de -2x + 3y - z = 0 x - y - 2z = 0 . O núcleo consiste em todos os vetores de que quando aplicados na transformação dão o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. A segunda equação pode ser expressa como -2(y + 2z) + 3y - z = 0 -2y - 4z + 3y - z = 0 (y) - 5z = 0 y = 5z . Substituindo na primeira equação:

Passo 4

Agora que temos (x, y, z) = (7z, 5z, z) = z(7, 5, 1) e , podemos expressar o núcleo em termos de :
Então, o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de T(1,0,0) = (-2(1) + 3(0) - 0, 1 - 0 - 0) = (-2, 1) . A imagem consiste em todos os vetores em T(0,1,0) = (-2(0) + 3(1) - 0, 0 - 1 - 0) = (3, -1) que podem ser obtidos aplicando T(0,0,1) = (-2(0) + 3(0) - 1, 0 - 0 - 2) = (-1, -2) a algum vetor de . Para isso, observamos os vetores gerados pelas transformações das bases de .
Vamos considerar , e , onde , e .
Calculando:

Passo 6

Agora, verificamos se esses vetores são lineares ou não. Vamos montar uma matriz com essas imagens como colunas:
-2 & 3 & -1 1 & -1 & -2
Vamos ver se alguma coluna é combinação linear das outras. Observamos que:
(-1) times T(e1) + 1 times T(e2) = (-1)(-2,1) + (3,-1) = (2, -1) + (3,-1) = (5, -2)
Isso não é igual a , então todas as imagens são linearmente independentes até certo ponto.

Passo 7

Percebo que apenas duas dessas imagens são suficientes para gerar a imagem total, já que o espaço de chegada é . Então, a imagem de é o espaço gerado pelos vetores e .

Resposta

O núcleo de Núc<=o(T) = , z(7, 5, 1) mid z in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , ou seja,
ú
E a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e .

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