Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A pergunta pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver
.
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
que satisfazem ambas as equações.
Passo 3
Vamos resolver o sistema que encontramos:
Podemos isolar uma variável em uma das equações. Por exemplo, da equação (1):
Agora, substituímos
da equação (3) na equação (2):
Agora, substituímos
na equação (3):
Então, todos os vetores no núcleo têm a forma:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos através da transformação
. Para isso, podemos considerar a matriz associada a
:
A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Calculando o determinante do sistema formado pelas duas primeiras colunas:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes, e a imagem de
é todo o espaço
.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores da forma
, ou seja,
E a imagem de
é todo o espaço
,
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que é ortogonal a
.
Prove que
Sejam
, e
.
Determine uma base de S.
Determine uma base de S.
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que .
Prove que