Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A pergunta pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema que encontramos:
Podemos isolar uma variável em uma das equações. Por exemplo, da equação (1):
Agora, substituímos da equação (3) na equação (2):
Agora, substituímos na equação (3):
Então, todos os vetores no núcleo têm a forma:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos através da transformação . Para isso, podemos considerar a matriz associada a :
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Calculando o determinante do sistema formado pelas duas primeiras colunas:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes, e a imagem de é todo o espaço .

Resposta

O núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , ou seja,
ú
E a imagem de é todo o espaço ,

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Determine uma base de S.
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que .