Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(-2 x+3 y+z, 6 x+y+2 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A pergunta pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação -2x + 3y + z = 0 6x + y + 2z = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema que encontramos:
-2x + 3y + z = 0 (1) 6x + y + 2z = 0 (2)
Podemos isolar uma variável em uma das equações. Por exemplo, da equação (1):
z = 2x - 3y (3)
Agora, substituímos 6x + y + 2(2x - 3y) = 0 6x + y + 4x - 6y = 0 10x - 5y = 0 2x - y = 0 y = 2x da equação (3) na equação (2):
z = 2x - 3(2x) = 2x - 6x = -4x
Agora, substituímos (x, y, z) = ( x,, 2x,, -4x ) = x cdot (1,, 2,, -4) na equação (3):
Então, todos os vetores no núcleo têm a forma:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de A = -2 & 3 & 1 6 & 1 & 2 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em Det = (-2)(1) - (3)(6) = -2 - 18 = -20 neq 0 que podem ser obtidos através da transformação . Para isso, podemos considerar a matriz associada a :
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Calculando o determinante do sistema formado pelas duas primeiras colunas:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes, e a imagem de é todo o espaço .

Resposta

O núcleo de Núc<=o(T) = , x(1,, 2,, -4) mid x in R , é o conjunto de todos os vetores da forma Ima>=m(T) = R^2 , ou seja,
ú
E a imagem de é todo o espaço ,

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