Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que o espaço tridimensional é a soma direta dos subconjuntos e , onde:
Isso está no contexto de Álgebra Linear, especificamente sobre a soma direta de subespaços. Pra resolver, vamos precisar mostrar duas coisas:
  1. Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um de .
  2. A interseção entre e contém apenas o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um de .
Vamos supor que:
onde e .
Sabendo que em , e , e em , , substituímos:
Agora, igualamos as componentes:
Da segunda equação, temos . E da definição de , . Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, podemos sempre encontrar que satisfaçam as equações, garantindo que .

Passo 3

Agora, vamos verificar a interseção entre e . Queremos mostrar que o único vetor que está nos dois subconjuntos é o vetor nulo .
Se um vetor está em , então:
  • Em : e
  • Em :
Juntando essas informações:
Então, e . Logo, o único vetor na interseção é .

Resposta

Assim, comprovamos que , ou seja, é a soma direta de e .

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Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
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Seja um subconjunto do .
Encontre o complemento ortogonal de .
Sejam , e .
Determine todos os valores de m para os quais .