Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que o espaço tridimensional é a soma direta dos subconjuntos e , onde:
Isso está no contexto de Álgebra Linear, especificamente sobre a soma direta de subespaços. Pra resolver, vamos precisar mostrar duas coisas:
Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um de .
A interseção entre e contém apenas o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um de .
Vamos supor que:
onde e .
Sabendo que em , e , e em , , substituímos:
Agora, igualamos as componentes:
Da segunda equação, temos . E da definição de , . Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, podemos sempre encontrar que satisfaçam as equações, garantindo que .
Passo 3
Agora, vamos verificar a interseção entre x = y e x = -y implies x = -x implies x = 0 e . Queremos mostrar que o único vetor que está nos dois subconjuntos é o vetor nulo .
Se um vetor está em , então:
Em : e
Em :
Juntando essas informações:
Então, e . Logo, o único vetor na interseção é .
Resposta
Assim, comprovamos que , ou seja, é a soma direta de e .