Sejam S1=(x, y, z) ; x=y, z=0 e S2=(x, y, z) ; x=-y dois subconjuntos do R^3.
Prove que R^3=S1 oplus S2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que o espaço tridimensional é a soma direta dos subconjuntos e , onde:
Isso está no contexto de Álgebra Linear, especificamente sobre a soma direta de subespaços. Pra resolver, vamos precisar mostrar duas coisas:
  1. Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um de .
  2. A interseção entre e contém apenas o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que qualquer vetor (a, b, c) = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) em (a, b, c) = (x1, x1, 0) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, x1 + y2, z2) pode ser escrito como a soma de um vetor de x1 + x2 = a x1 + y2 = b z2 = c e um de x1 - (b - x1) = a implies 2x1 - b = a implies x1 = a + b2 .
Vamos supor que:
x2 = - (b - a + b2) = -a + b2
onde y2 = b - a + b2 = b - a2 e z2 = c .
Sabendo que em , e , e em , , substituímos:
Agora, igualamos as componentes:
Da segunda equação, temos . E da definição de , . Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, podemos sempre encontrar que satisfaçam as equações, garantindo que .

Passo 3

Agora, vamos verificar a interseção entre x = y e x = -y implies x = -x implies x = 0 e . Queremos mostrar que o único vetor que está nos dois subconjuntos é o vetor nulo .
Se um vetor está em , então:
  • Em : e
  • Em :
Juntando essas informações:
Então, e . Logo, o único vetor na interseção é .

Resposta

Assim, comprovamos que , ou seja, é a soma direta de e .

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