Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que
.
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que o espaço tridimensional
é a soma direta dos subconjuntos
e
, onde:
Isso está no contexto de Álgebra Linear, especificamente sobre a soma direta de subespaços. Pra resolver, vamos precisar mostrar duas coisas:
- Todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de e um de . - A interseção entre
e contém apenas o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que qualquer vetor
em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um de
.
Vamos supor que:
onde
e
.
Sabendo que em
,
e
, e em
,
, substituímos:
Agora, igualamos as componentes:
Da segunda equação, temos
. E da definição de
,
. Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, podemos sempre encontrar
que satisfaçam as equações, garantindo que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a interseção entre
e
. Queremos mostrar que o único vetor que está nos dois subconjuntos é o vetor nulo
.
Se um vetor
está em
, então:
- Em
: e - Em
:
Juntando essas informações:
Então,
e
. Logo, o único vetor na interseção é
.
Resposta
Assim, comprovamos que
, ou seja,
é a soma direta de
e
.
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Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
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Seja
um subconjunto do
.
Encontre o complemento ortogonal de
.
Encontre
Sejam
, e
.
Determine todos os valores de m para os quais .
Determine todos os valores de m para os quais