Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear definida por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o zero) e a imagem (conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo consiste em todos os vetores que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 3

Da segunda equação, , podemos isolar :
Da terceira equação, , isolamos :
Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:
Com , temos:
Então, o único vetor que está no núcleo é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Para isso, observamos as componentes de :
Podemos representar isso como uma combinação linear das variáveis , e :
A imagem de é, portanto, o espaço gerado por esses vetores.

Resposta

O núcleo de é apenas o vetor nulo, ou seja, . Já a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores , e .

Exercícios relacionados

Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que é ortogonal a .
Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que .
Seja um subconjunto do .
Encontre o complemento ortogonal de .