Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-3 y,-2 y+4 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear definida por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o zero) e a imagem (conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de x + 2y - z = 0 2x - 3y = 0 -2y + 4z = 0 . O núcleo consiste em todos os vetores que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 3

Da segunda equação, 2x = 3y Rightarrow x = 32y , podemos isolar -2y + 4z = 0 Rightarrow 4z = 2y Rightarrow z = 12y :
32y + 2y - 12y = 0
Da terceira equação, (32 + 2 - 12)y = 0 Rightarrow 3y = 0 Rightarrow y = 0 , isolamos x = 32 times 0 = 0 z = 12 times 0 = 0 :
Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:
Com , temos:
Então, o único vetor que está no núcleo é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de T(x, y, z) = ( x + 2y - z, , 2x - 3y, , -2y + 4z ) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como T(x, y, z) = x 1 2 0 + y 2 -3 -2 + z -1 0 4 para algum . Para isso, observamos as componentes de :
Podemos representar isso como uma combinação linear das variáveis , e :
A imagem de é, portanto, o espaço gerado por esses vetores.

Resposta

O núcleo de 1 2 0 é apenas o vetor nulo, ou seja, 2 -3 -2 . Já a imagem de -1 0 4 é o subespaço de gerado pelos vetores , e .

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