Resolva o problema de valor inicial:
a) d^2 yd t^2+y=0.5 cos t, y(0)=0, d yd t=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial para a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos resolver essa equação passo a passo usando conceitos de equações diferenciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: yh(t) = A cos t + B sin t . A equação característica dessa equação é , que tem soluções complexas . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) = t (C cos t + D sin t) para a equação completa . Observamos que o termo é semelhante às soluções da equação homogênea. Portanto, para evitar soluções triviais, vamos tentar uma solução particular na forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Calculamos as derivadas de d ypd t = C cos t + D sin t + t (-C sin t + D cos t) :
Primeira derivada:
d^2 ypd t^2 = -2 C sin t + 2 D cos t + t (-C cos t - D sin t)
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos d^2 ypd t^2 + yp = (-2 C sin t + 2 D cos t + t (-C cos t - D sin t)) + t (C cos t + D sin t) = 0,5 cos t e suas derivadas na equação original:
-2 C sin t + 2 D cos t = 0,5 cos t
Simplificando, os termos com se cancelam, restando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para -2 C = 0 Rightarrow C = 0 :
2 D = 0,5 Rightarrow D = 0,52 = 0,25
Para :

Passo 7

Com os valores de yp(t) = t (0 cdot cos t + 0,25 sin t) = 0,25 t sin t e encontrados, a solução particular fica:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = A cos t + B sin t + 0,25 t sin t
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y(0) = A cos 0 + B sin 0 + 0,25 cdot 0 cdot sin 0 Rightarrow A = 0 e d yd t = -A sin t + B cos t + 0,25 (sin t + t cos t) .
Para 0 = B cdot 1 + 0,25 cdot 0 Rightarrow B = 0 :
Para a derivada , primeiro calculamos :
Substituindo e :

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 0 + 0 cdot sin t + 0,25 t sin t = 0,25 t sin t

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