Resolva o problema de valor inicial:
a)
.
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial para a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos resolver essa equação passo a passo usando conceitos de equações diferenciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A equação característica dessa equação é
, que tem soluções complexas
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observamos que o termo
é semelhante às soluções da equação homogênea. Portanto, para evitar soluções triviais, vamos tentar uma solução particular na forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando, os termos com
se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular fica:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para a derivada
, primeiro calculamos
:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução do problema é: