Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma transformação linear
definida por
. O objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação e explicar como ele se parece geometricamente.
Passo 2
Primeiro, o que é o núcleo de uma transformação linear? Basicamente, é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos achar todos os pares
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos montar as equações baseadas na definição da transformação:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 4
Observando as duas equações, vemos que a segunda é uma versão simplificada da primeira. Se
, então multiplicando ambos os lados por 2, temos
, que é exatamente a primeira equação. Isso significa que ambas as equações representam a mesma reta no plano.
Passo 5
Então, todas as soluções para
formam o núcleo da transformação. Geometricamente, isso é uma reta que passa pela origem e tem inclinação de -1 (ou seja, todos os pontos onde
).
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
tais que
. Geometricamente, isso corresponde a uma reta que passa pela origem com inclinação de -1.