Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação e explicar como ele se parece geometricamente.
Passo 2
Primeiro, o que é o núcleo de uma transformação linear? Basicamente, é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos achar todos os pares que satisfazem .
Passo 3
Vamos montar as equações baseadas na definição da transformação:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 4
Observando as duas equações, vemos que a segunda é uma versão simplificada da primeira. Se , então multiplicando ambos os lados por 2, temos , que é exatamente a primeira equação. Isso significa que ambas as equações representam a mesma reta no plano.
Passo 5
Então, todas as soluções para formam o núcleo da transformação. Geometricamente, isso é uma reta que passa pela origem e tem inclinação de -1 (ou seja, todos os pontos onde ).
Resposta
O núcleo de é o conjunto de todos os vetores tais que . Geometricamente, isso corresponde a uma reta que passa pela origem com inclinação de -1.