Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
© T: R^2 R^2 T(x, y)=(2 x+2 y, x+y).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação e explicar como ele se parece geometricamente.

Passo 2

Primeiro, o que é o núcleo de uma transformação linear? Basicamente, é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos achar todos os pares que satisfazem .

Passo 3

Vamos montar as equações baseadas na definição da transformação:
2x + 2y = 0 x + y = 0
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Observando as duas equações, vemos que a segunda é uma versão simplificada da primeira. Se , então multiplicando ambos os lados por 2, temos , que é exatamente a primeira equação. Isso significa que ambas as equações representam a mesma reta no plano.

Passo 5

Então, todas as soluções para formam o núcleo da transformação. Geometricamente, isso é uma reta que passa pela origem e tem inclinação de -1 (ou seja, todos os pontos onde ).

Resposta

O núcleo de é o conjunto de todos os vetores tais que . Geometricamente, isso corresponde a uma reta que passa pela origem com inclinação de -1.

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