Determine o núcleo das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por
. Nosso objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear e resolver uma equação linear simples.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, queremos encontrar todos os pares
que satisfazem a equação
.
Passo 3
Vamos escrever a equação que define o núcleo:
Essa é uma equação linear que relaciona
e
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar
:
Isso mostra que
depende diretamente de
.
Passo 5
Com a relação
, podemos expressar todos os vetores no núcleo em termos de
:
Podemos fatorar
para deixar mais claro:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo do vetor
.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos de
, ou seja: