Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: T(x, y)=2 x+y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear e resolver uma equação linear simples.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear, denotado por , é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, queremos encontrar todos os pares que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos escrever a equação que define o núcleo:
T(x, y) = 2x + y = 0
Essa é uma equação linear que relaciona e .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar y = -2x :
Isso mostra que depende diretamente de .

Passo 5

Com a relação (x, y) = (x, -2x) , podemos expressar todos os vetores no núcleo em termos de (x, y) = x cdot (1, -2) :
Podemos fatorar para deixar mais claro:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .

Resposta

O núcleo de ker(T) = , x cdot (1, -2) mid x in R , é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos de , ou seja:

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