Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: T(x, y)=2 x+y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear e resolver uma equação linear simples.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear, denotado por , é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, queremos encontrar todos os pares que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos escrever a equação que define o núcleo:
T(x, y) = 2x + y = 0
Essa é uma equação linear que relaciona e .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar y = -2x :
Isso mostra que depende diretamente de .

Passo 5

Com a relação (x, y) = (x, -2x) , podemos expressar todos os vetores no núcleo em termos de (x, y) = x cdot (1, -2) :
Podemos fatorar para deixar mais claro:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .

Resposta

O núcleo de ker(T) = , x cdot (1, -2) mid x in R , é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos de , ou seja:

Exercícios relacionados

(a) Use matrizes elementares para escrever a matriz A=[cccc1 & 3 & 2 & 1 2 & 5 & 6 & 2 -3 & -2 & 7 & -3 1 & 3 & 2 & 2] na forma A=B C, onde B é triangular inferior e C é triangular superior (OBS: uma matriz n times n é triangular inferior se todos os valores acima da diagonal principal são nulos; uma matriz n times n é triangular superior se todos os valores abaixo da diagonal principal são nulos).
(b) Calcule det A.
Seja A=(ccc1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1). Determine se A é inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.
Sejam
A=[rrr 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 ], B=[rrr -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 ], C=[r -1 2 4 ], D=[ll 2 & -1 ]
(b) A cdot C
Reduza as matrizes à forma escada por linhas e o seu posto e nulidade.
© [rrr0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1]