Determine o núcleo das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar o núcleo dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear e resolver uma equação linear simples.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear, denotado por , é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, queremos encontrar todos os pares que satisfazem a equação .
Passo 3
Vamos escrever a equação que define o núcleo:
Essa é uma equação linear que relaciona e .
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar :
Isso mostra que depende diretamente de .
Passo 5
Com a relação , podemos expressar todos os vetores no núcleo em termos de :
Podemos fatorar para deixar mais claro:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .
Resposta
O núcleo de é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos de , ou seja: