Seja A=(ccc1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1). Determine se A é inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a matriz 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 é inversível. Se for, temos que escrever como um produto de matrizes elementares. Para isso, vamos precisar saber sobre determinantes e matrizes elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir se a matriz é inversível. Uma matriz quadrada é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou usar a regra de Sarrus aqui para facilitar:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 2 cdot (-1) + 1 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 1 - 0 cdot 1 cdot (-1) - 1 cdot 2 cdot 1
Calculando cada termo:
det(A) = 1 + 0 + 1 - 1 - 0 - 2 = -1

Passo 4

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que é inversível.

Passo 5

Agora, precisamos expressar como um produto de matrizes elementares. Lembrando que uma matriz elementar é aquela que resulta de uma única operação elementar aplicada à matriz identidade. As operações podem ser:
  1. Troca de linhas.
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos encontrar essas matrizes que, quando multiplicadas, dão a matriz .

Passo 6

Começamos com a matriz identidade de 3x3:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicamos as operações necessárias para transformar em .

Passo 7

Primeira operação: Adicionar a primeira linha à terceira linha para obter o elemento E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 na posição (3,1).
Matriz elementar :

Passo 8

Segunda operação: Adicionar a primeira linha à segunda linha para obter o elemento E2 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 na posição (2,1).
Matriz elementar :

Passo 9

Terceira operação: Adicionar a terceira linha à segunda linha para obter o elemento E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 na posição (2,3).
Matriz elementar :

Passo 10

Multiplicando essas matrizes elementares:
A = E3 cdot E2 cdot E1

Resposta

A matriz A = E3 cdot E2 cdot E1 é inversível e pode ser escrita como o produto das matrizes elementares E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1, E2 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1, E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 , e :
Onde:

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5a) todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(v) T(x, y)=(1+x, y);
(a) Use matrizes elementares para escrever a matriz A=[cccc1 & 3 & 2 & 1 2 & 5 & 6 & 2 -3 & -2 & 7 & -3 1 & 3 & 2 & 2] na forma A=B C, onde B é triangular inferior e C é triangular superior (OBS: uma matriz n times n é triangular inferior se todos os valores acima da diagonal principal são nulos; uma matriz n times n é triangular superior se todos os valores abaixo da diagonal principal são nulos).
(b) Calcule det A.
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: T(x, y)=2 x+y