Seja . Determine se A é inversível. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a matriz 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 é inversível. Se for, temos que escrever como um produto de matrizes elementares. Para isso, vamos precisar saber sobre determinantes e matrizes elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir se a matriz é inversível. Uma matriz quadrada é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou usar a regra de Sarrus aqui para facilitar:
Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que é inversível.
Passo 5
Agora, precisamos expressar como um produto de matrizes elementares. Lembrando que uma matriz elementar é aquela que resulta de uma única operação elementar aplicada à matriz identidade. As operações podem ser:
Troca de linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos encontrar essas matrizes que, quando multiplicadas, dão a matriz .
Passo 6
Começamos com a matriz identidade de 3x3:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicamos as operações necessárias para transformar em .
Passo 7
Primeira operação: Adicionar a primeira linha à terceira linha para obter o elemento E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 na posição (3,1).
Matriz elementar :
Passo 8
Segunda operação: Adicionar a primeira linha à segunda linha para obter o elemento E2 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 na posição (2,1).
Matriz elementar :
Passo 9
Terceira operação: Adicionar a terceira linha à segunda linha para obter o elemento E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 na posição (2,3).
Matriz elementar :
Passo 10
Multiplicando essas matrizes elementares:
A = E3 cdot E2 cdot E1
Resposta
A matriz A = E3 cdot E2 cdot E1 é inversível e pode ser escrita como o produto das matrizes elementares E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1, E2 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1, E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 , e :